Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B,AB = a\). Biết

Câu hỏi số 640185:

Vận dụng

Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B,AB = a\). Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ACC'} \right)\) và \(\left( {AB'C'} \right)\) bằng \({60^0}\). Thể tích khối chóp \(B'.ACC'A'\) bằng

A. \(\dfrac{{{a^3}}}{2}\).

B. \(\dfrac{{{a^3}}}{6}\).

C. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).

D. \(\dfrac{{{a^3}}}{3}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:640185

Phương pháp giải

Diện tích hình chiếu của một đa giác: Cho đa giác H thuộc \(\left( \alpha \right)\).

Gọi đa giác H’ là hình chiếu của đa giác H lên \(\left( \beta \right)\); \(\varphi \)= là góc giữa \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\).

Khi đó : \({S_{\left( {H'} \right)}} = {\rm{cos}}\alpha {\rm{. }}{{\rm{S}}_{\left( H \right)}}\).

Giải chi tiết

Gọi M là trung điểm của A’C’ \( \Rightarrow B'M \bot \left( {ACC'} \right)\).

\( \Rightarrow \) Hình chiếu vuông góc của tam giác AB’C’ lên (ACC’) là tam giác AMC’.

\( \Rightarrow \dfrac{{{S_{AMC'}}}}{{{S_{AB'C'}}}} = \cos {60^0} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{{\dfrac{1}{2}AA'.C'M}}{{\dfrac{1}{2}.B'C'.AB'}} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{AA'.C'M}}{{B'C'.AB'}} = \dfrac{1}{2}\) (do tam giác AMB’ vuông tại M, tam giác AB’C’ vuông tại B’).

\( \Rightarrow \dfrac{{h.\dfrac{a}{{\sqrt 2 }}}}{{a.\sqrt {{h^2} + {a^2}} }} = \dfrac{h}{{\sqrt 2 .\sqrt {{h^2} + {a^2}} }} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \sqrt 2 h = \sqrt {{h^2} + {a^2}} \Leftrightarrow 2{h^2} = {h^2} + {a^2} \Leftrightarrow h = a\).

Thể tích khối chóp \(B'.ACC'A'\) là:

\(V = \dfrac{1}{3}.B'M.{S_{ACC'A'}} = \dfrac{1}{3}.B'M.A'C'.AA' = \dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{{\sqrt 2 }}.a\sqrt 2 .a = \dfrac{{{a^3}}}{3}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.