Cho hai hàm số \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và hàm số

Câu hỏi số 640188:

Vận dụng cao

Cho hai hàm số \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và hàm số \(f'\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\), \(g'\left( x \right) = q{x^2} + nx + p\) với \(a,q \ne 0\) có đồ thị như hình vẽ. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) và \(y = g'\left( x \right)\) bằng 10 và \(f\left( 2 \right) = g\left( 2 \right)\). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\).

A. \(\dfrac{8}{3}\).

B. \(\dfrac{{16}}{3}\).

C. \(\dfrac{8}{{15}}\).

D. \(\dfrac{{16}}{5}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:640188

Phương pháp giải

Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f(x),\,\,y = g(x)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a;\,\,x = b\) được tính theo công thức : \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx} \).

Giải chi tiết

\(f'\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\), \(g'\left( x \right) = q{x^2} + nx + p\) với \(a,q \ne 0\) là hàm số bậc 3 và hàm số bâc 2.

\( \Rightarrow f'\left( x \right) - g'\left( x \right)\) là hàm số bậc ba.

Mà \(f'\left( x \right) - g'\left( x \right) = 0\) có 3 nghiệm là \(0;1;2 \Rightarrow \) \(f'\left( x \right) - g'\left( x \right) = ax\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\).

Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) và \(y = g'\left( x \right)\) bằng 10.

\(S = \int\limits_0^2 {\left| {f'(x) - g'(x)} \right|dx} = \int\limits_0^2 {\left| {ax\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)} \right|dx} = \left| a \right|.\left[ {\left| {\int\limits_0^1 {x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)dx} } \right| + \left| {\int\limits_1^2 {x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)dx} } \right|} \right] = \left| a \right|.\dfrac{1}{2}\).

\( \Rightarrow \left| a \right|.\dfrac{1}{2} = 10 \Leftrightarrow \left| a \right| = 20\).

Mà \(a > 0\) (dựa vào đồ thị hàm số bậc ba \(y = f'\left( x \right)\)) \( \Rightarrow a = 20\).

\( \Rightarrow f'\left( x \right) - g'\left( x \right) = 20x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 20\left( {{x^3} - 3{x^2} + 2x} \right)\).

\( \Rightarrow f\left( x \right) - g\left( x \right) = 20.\left( {\dfrac{1}{4}{x^4} - {x^3} + {x^2}} \right) + C = 5{x^4} - 20{x^3} + 20{x^2} + C\).

Mà \(f\left( 2 \right) = g\left( 2 \right) \Leftrightarrow f\left( 2 \right) - g\left( 2 \right) = 0 \Rightarrow {5.2^4} - {20.2^3} + {20.2^2} + C = 0 \Leftrightarrow C = 0\).

\( \Rightarrow f\left( x \right) - g\left( x \right) = 5{x^4} - 20{x^3} + 20{x^2}\).

Giải phương trình :\(f\left( x \right) - g\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 5{x^4} - 20{x^3} + 20{x^2} = 0 \Leftrightarrow 5{x^2}\left( {{x^2} - 4x + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) là:

\(S = \int\limits_0^2 {\left| {5{x^4} - 20{x^3} + 20{x^2}} \right|dx} = \int\limits_0^2 {\left( {5{x^4} - 20{x^3} + 20{x^2}} \right)dx} = \left. {\left( {{x^5} - 5{x^4} + \dfrac{{20}}{3}{x^3}} \right)} \right|_0^2 = \dfrac{{16}}{3}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.