Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2{x^3} + m{x^2} + nx + 2022\) với m, n là các số thực. Biết hàm số

Câu hỏi số 642346:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2{x^3} + m{x^2} + nx + 2022\) với m, n là các số thực. Biết hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) + f'\left( x \right) + f''\left( x \right)\) có hai giá trị cực trị là \({e^{2023}} - 12\) và \(e - 12\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 12}}\) và \(y = 1\) bằng:

A. \(2019\).

B. \(2020\).

C. \(2021\).

D. \(2022\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:642346

Phương pháp giải

Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f(x),\,\,y = g(x)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a;\,\,x = b\) được tính theo công thức : \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx} \).

Giải chi tiết

\(f\left( x \right) = 2{x^3} + m{x^2} + nx + 2022 \Rightarrow f'\left( x \right) = 6{x^2} + 2mx + n,\,\,f''\left( x \right) = 12x + 2m\).

\(g\left( x \right) = f\left( x \right) + f'\left( x \right) + f''\left( x \right) = 2{x^3} + \left( {m + 6} \right){x^2} + \left( {n + 2m + 12} \right)x + 2022 + n + 2m\).

\(g'\left( x \right) = 6{x^2} + 2\left( {m + 6} \right)x + \left( {n + 2m + 12} \right)\)

Giả sử \({x_1},{x_2}\,\,\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) là nghiệm của phương trình \(g'\left( x \right) = 0\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}g'\left( {{x_1}} \right) = 0\\g'\left( {{x_2}} \right) = 0\end{array} \right.\).

Hàm số \(g\left( x \right)\) có hai giá trị cực trị là \({e^{2023}} - 12\) và \(e - 12\,\,\,\,\left( {{e^{2023}} - 12 > e - 12} \right)\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}g\left( {{x_1}} \right) = {e^{2023}} - 12\\g\left( {{x_2}} \right) = e - 12\end{array} \right.\).

Xét phương trình \(\dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 12}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{f\left( x \right) - g\left( x \right) - 12}}{{g\left( x \right) + 12}} = 0\).

\( \Leftrightarrow \dfrac{{2{x^3} + m{x^2} + nx + 2022 - \left( {2{x^3} + \left( {m + 6} \right){x^2} + \left( {n + 2m + 12} \right)x + 2022 + n + 2m} \right) - 12}}{{g\left( x \right) + 12}} = 0\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{ - 6{x^2} - \left( {2m + 12} \right)x - n - 2m - 12}}{{g\left( x \right) + 12}} = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{g'\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 12}} = 0 \Leftrightarrow g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {x_1}\\x = {x_2}\end{array} \right.\end{array}\).

Khi đó:

\(\begin{array}{l}S = \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left| {\dfrac{{g'\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 12}}} \right|} dx = \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\dfrac{{g'\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 12}}} dx} \right|\\\,\,\,\, = \left| {\left. {\ln \left| {g\left( x \right) + 12} \right|} \right|_{{x_1}}^{{x_2}}} \right| = \left| {\ln \left| {g\left( {{x_2}} \right) + 12} \right| - \ln \left| {g\left( {{x_1}} \right) + 12} \right|} \right|\\\,\,\,\, = \left| {\ln \left| {e - 12 + 12} \right| - \ln \left| {{e^{2023}} - 12 + 12} \right|} \right| = \left| {1 - 2023} \right| = 2022\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.