Cho các số thực b, c sao cho phương trình \({z^2} + bz + c = 0\) có hai nghiệm phức \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} - 4 + 3i} \right| = 1\) và \(\left| {{z_2} - 8 - 6i} \right| = 4\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 642347: Cho các số thực b, c sao cho phương trình \({z^2} + bz + c = 0\) có hai nghiệm phức \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} - 4 + 3i} \right| = 1\) và \(\left| {{z_2} - 8 - 6i} \right| = 4\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \(5b + c = - 12.\)

B. \(5b + c = 4.\)

C. \(5b + c = - 4.\)

D. \(5b + c = 12.\)

Câu hỏi : 642347

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Chia 2 trường hợp:

+) \({z_1},{z_2} \in \mathbb{R}\).

+) \({z_1},{z_2} \notin \mathbb{R} \Rightarrow {z_1},{z_2}\) là hai số phức liên hợp.

Đáp án : A
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
TH1: \({z_1},{z_2} \in \mathbb{R}\) :
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {{z_1} - 4 + 3i} \right| = 1\\\left| {{z_2} - 8 - 6i} \right| = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {{z_1} - 4} \right)^2} + {3^2} = 1\\{\left( {{z_2} - 8} \right)^2} + {6^2} = {4^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {{z_1} - 4} \right)^2} = - 8\\{\left( {{z_2} - 8} \right)^2} + {6^2} = {4^2}\end{array} \right.\): vô lí.
+) \({z_1},{z_2} \notin \mathbb{R} \Rightarrow {z_1},{z_2}\) là hai số phức liên hợp.
Giả sử \({z_1} = {z_0} \Rightarrow {z_2} = \overline {{z_0}} \).
Khi đó, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {{z_0} - 4 + 3i} \right| = 1\\\left| {\overline {{z_0}} - 8 - 6i} \right| = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {{z_0} - 4 + 3i} \right| = 1\\\left| {\overline {{z_0} - 8 + 6i} } \right| = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {{z_0} - 4 + 3i} \right| = 1\\\left| {{z_0} - 8 + 6i} \right| = 4\end{array} \right.\).
Gọi C là điểm biểu diễn số phức \({z_0}\).
Khi đó C là điểm chung của 2 đường tròn:
\(\left( {A\left( {4; - 3} \right);1} \right),\,\left( {B\left( {8; - 6} \right);4} \right)\).
Ta có: \(AB = 5 = {R_1} + {R_2} \Rightarrow \)Hai đường tròn \(\left( {A\left( {4; - 3} \right);1} \right),\,\left( {B\left( {8; - 6} \right);4} \right)\) tiếp xúc ngoài tại C.
Ta có: \(\overrightarrow {AC} = \dfrac{1}{5}\overrightarrow {AB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} - 4 = \dfrac{1}{5}\left( {8 - 4} \right)\\{y_C} + 3 = \dfrac{1}{5}\left( { - 6 + 3} \right)\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow C\left( {\dfrac{{24}}{5};\dfrac{{ - 18}}{5}} \right)\).
\( \Rightarrow {z_1} = \dfrac{{24}}{5} - \dfrac{{18}}{5}i,{z_2} = \dfrac{{24}}{5} + \dfrac{{18}}{5}i\).
\( \Rightarrow {z_1} + {z_2} = \dfrac{{48}}{5},{z_1}.{z_2} = 36\).
\( \Rightarrow b = - \dfrac{{48}}{5},c = 36\)\( \Rightarrow 5b + c = - 12.\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.