Có bao nhiêu cặp số nguyên dương (x;y) thoả mãn \(0 < x \le 2023\) và \({3^x}\left( {x + 1} \right) =

Câu hỏi số 642349:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương (x;y) thoả mãn \(0 < x \le 2023\) và \({3^x}\left( {x + 1} \right) = {27^y}y\).

A. 2020.

B. 674.

C. \(672\).

D. \(2019\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:642349

Phương pháp giải

Xây dựng hàm đặc trưng.

Giải chi tiết

Với \(x,y > 0:{3^x}\left( {x + 1} \right) = {27^y}y \Leftrightarrow {\log _3}\left[ {{3^x}\left( {x + 1} \right)} \right] = {\log _3}\left( {{{27}^y}y} \right) \Leftrightarrow x + {\log _3}\left( {x + 1} \right) = 3y + {\log _3}y\).

\( \Leftrightarrow x + 1 + {\log _3}\left( {x + 1} \right) = 3y + {\log _3}3y\) (1)

Hàm số \(f\left( t \right) = {\log _3}t + t\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Khi đó (1) \( \Leftrightarrow x + 1 = 3y\) (2).

Ta có: \(x,y\) là các số nguyên dương thỏa mãn \(0 < x \le 2023 \Rightarrow 1 < x + 1 \le 2024 \Rightarrow 1 < 3y \le 2024\).

\( \Rightarrow 3y \in \left\{ {3;6;9;...;2022} \right\} \Rightarrow y \in \left\{ {1;2;3;...;674} \right\}\): 674 giá trị, tương ứng với 674 giá trị nguyên dương của x.

Do đó, có tất cả 674 cặp \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.