Cho hàm số \(f(x) = \dfrac{{{x^5}}}{5} - {x^2} + (m - 1)x - 4029\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để

Câu hỏi số 642352:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f(x) = \dfrac{{{x^5}}}{5} - {x^2} + (m - 1)x - 4029\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số \(y = \left| {f(x - 1) + 2023} \right|\) nghịch biến trên \(( - \infty ;2)\)?

A. \(2005\).

B. \(2006\).

C. \(2007\).

D. \(2008\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:642352

Giải chi tiết

\(f(x) = \dfrac{{{x^5}}}{5} - {x^2} + (m - 1)x - 4029 \Rightarrow \)\(f'\left( x \right) = {x^4} - 2x + m - 1\).

Đặt \(g\left( x \right) = f\left( {x - 1} \right) + 2023\).

Ta có: \(y = \left| {h\left( x \right)} \right| = \left| {f(x - 1) + 2023} \right|\) nghịch biến trên \(( - \infty ;2)\)

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}h\left( x \right) \le 0\\h'\left( x \right) \ge 0\end{array} \right.,\forall x \in \left( { - \infty ;2} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}h\left( 2 \right) \le 0\\h'\left( x \right) \ge 0\end{array} \right.,\forall x \in \left( { - \infty ;2} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) + 2023 \le 0\,\,\,(1)\\f'\left( {x - 1} \right) \ge 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.,\forall x \in \left( { - \infty ;2} \right)\).

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \dfrac{1}{5} - 1 + \left( {m - 1} \right) - 4029 + 2023 \le 0 \Leftrightarrow m \le \dfrac{{10039}}{5}\).

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^4} - 2\left( {x - 1} \right) + m - 1 \ge 0,\forall x \in \left( { - \infty ;2} \right)\)

Đặt \(t = x - 1\): khi đó (2) \( \Leftrightarrow {t^4} - 2t + m - 1 \ge 0,\forall t \in \left( { - \infty ;1} \right) \Leftrightarrow m \ge - {t^4} + 2t + 1,\forall t \in \left( { - \infty ;1} \right)\).

Xét \(k\left( t \right) = - {t^4} + 2t + 1,t \in \left( { - \infty ;1} \right)\) có \(k'\left( t \right) = - 4{t^3} + 2 = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{{\sqrt[3]{2}}}\).

\( \Rightarrow m \ge k\left( {\dfrac{1}{{\sqrt[3]{2}}}} \right) \Leftrightarrow m \ge \dfrac{3}{{2\sqrt[3]{2}}} + 1\).

\( \Rightarrow \dfrac{3}{{2\sqrt[3]{2}}} + 1 \le m \le \dfrac{{10039}}{5} \Rightarrow m \in \left\{ {3;4;5;...;2007} \right\}\): 2005 giá trị.

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}h\left( x \right) \ge 0\\h'\left( x \right) \le 0\end{array} \right.,\forall x \in \left( { - \infty ;2} \right)\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}h\left( 2 \right) \ge 0\\h'\left( x \right) \le 0\end{array} \right.,\forall x \in \left( { - \infty ;2} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) + 2023 \ge 0\,\,\,(1)\\f'\left( {x - 1} \right) \le 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.,\forall x \in \left( { - \infty ;2} \right)\)

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \dfrac{1}{5} - 1 + \left( {m - 1} \right) - 4029 + 2023 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge \dfrac{{10039}}{5}\).

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^4} - 2\left( {x - 1} \right) + m - 1 \le 0,\forall x \in \left( { - \infty ;2} \right)\)\( \Leftrightarrow m \le - {t^4} + 2t + 1,\forall t \in \left( { - \infty ;1} \right)\).

\( \Rightarrow m \in \emptyset \) , do \(\mathop {\lim }\limits_{t \to - \infty } \left( { - {t^4} + 2t + 1} \right) = - \infty \).

\( \Rightarrow m \in \emptyset \).

Vậy có tất cả 2005 giá trị của m thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.