Cho số phức \(z\) có phần ảo dương thoả mãn \(\left| z \right| = 1\) và biểu thức \(P = \left| {1 +

Câu hỏi số 642949:

Vận dụng

Cho số phức \(z\) có phần ảo dương thoả mãn \(\left| z \right| = 1\) và biểu thức \(P = \left| {1 + z} \right| + 2\left| {1 - z} \right|\) đạt giá trị lớn nhất. Giá trị của biểu thức \(Q = \left| {z + \dfrac{3}{5} + \dfrac{6}{5}i} \right|\) bằng

A. 0 .

B. 2 .

C. \(\dfrac{{3\sqrt 5 }}{5}\).

D. \(\dfrac{6}{5}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:642949

Phương pháp giải

Giả sử \(z = a + bi,(a,b \in \mathbb{R},b > 0)\).

Biểu diễn biểu thức P theo a, b. Áp dụng BĐT Bunhiaxkopki.

Giải chi tiết

Giả sử \(z = a + bi,(a,b \in \mathbb{R},b > 0)\).

Ta có \(\left| z \right| = 1 \Rightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 1 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 1\).

Do đó \(P = \left| {1 + z} \right| + 2\left| {1 - z} \right| = \sqrt {{{(a + 1)}^2} + {b^2}} + 2\sqrt {{{(1 - a)}^2} + {{( - b)}^2}} = \sqrt {2a + 2} + 2\sqrt {2 - 2a} \).

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiaxkopki ta có

\(P = \sqrt {2a + 2} + 2\sqrt {2 - 2a} \le \sqrt {\left( {{1^2} + {2^2}} \right)(2a + 2 + 2 - 2a)} = 2\sqrt 5 {\rm{. }}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\sqrt {2a + 2} = \dfrac{1}{2}\sqrt {2 - 2a} \Leftrightarrow 4(2a + 2) = 2 - 2a \Leftrightarrow a = - \dfrac{3}{5}\).

Mà \({a^2} + {b^2} = 1 \Rightarrow {b^2} = \dfrac{{16}}{{25}} \Rightarrow b = \dfrac{4}{5}(\) do \(b > 0)\).

Suy ra \(z = - \dfrac{3}{5} + \dfrac{4}{5}i\).

Vậy \(Q = \left| {z + \dfrac{3}{5} + \dfrac{6}{5}i} \right| = \left| { - \dfrac{3}{5} + \dfrac{4}{5}i + \dfrac{3}{5} + \dfrac{6}{5}i} \right| = \left| {2i} \right| = 2\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.