Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f(x) + xf'(x) = 5{x^4} +

Câu hỏi số 642954:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f(x) + xf'(x) = 5{x^4} + 6{x^2} - 4,\forall x \in \mathbb{R}\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các được \(y = f(x)\) và \(y = \dfrac{1}{4}xf'(x)\) bằng

A. \(\dfrac{{272}}{{15}}\)

B. \(\dfrac{{112}}{{15}}\)

C. \(\dfrac{{32}}{3}\)

D. \(\dfrac{{1088}}{{15}}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:642954

Phương pháp giải

Từ giả thiết, sử dụng công thức đạo hàm của tích và phương pháp nguyên hàm hai vế tìm hàm số f(x).

Tính f’(x) và tìm hàm \(y = \dfrac{1}{4}xf'(x)\).

Ứng dụng tích phân vào tính diện tích hình phẳng.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}f(x) + xf'(x) = 5{x^4} + 6{x^2} - 4,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow [x.f(x)]' = 5{x^4} + 6{x^2} - 4,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow x.f(x) = \int {\left( {5{x^4} + 6{x^2} - 4} \right)} {\rm{d}}x\\ \Leftrightarrow x.f(x) = {x^5} + 2{x^3} - 4x + C\end{array}\)

Cho \(x = 0\), suy ra \(C = 0\). Suy ra \(x.f(x) = {x^5} + 2{x^3} - 4x\).

Với \(x \ne 0\) thì \(f(x) = {x^4} + 2{x^2} - 4\). Trong \((1)\), cho \(x = 0\) suy ra \(f(0) = - 4\).

\( \Rightarrow f(x) = {x^4} + 2{x^2} - 4,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow f'(x) = 4{x^3} + 4x\).

Khi đó \(f(x) = \dfrac{1}{4}x{f^\prime }(x) \Leftrightarrow {x^4} + 2{x^2} - 4 = \left( {{x^3} + x} \right)x \Leftrightarrow {x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{x = - 2}\end{array}} \right.\).

Vậy \(S = \int\limits_{ - 2}^2 {\left| {f(x) - \dfrac{1}{4}x \cdot {f^\prime }(x)} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_{ - 2}^2 {\left| {{x^2} - 4} \right|{\rm{d}}x} = \dfrac{{32}}{3}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.