Cho \({x_1},\,\,{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({\log _7}\left( {\dfrac{{4{x^2} - 4x + 1}}{{2x}}}

Câu hỏi số 642955:

Vận dụng

Cho \({x_1},\,\,{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({\log _7}\left( {\dfrac{{4{x^2} - 4x + 1}}{{2x}}} \right) + 4{x^2} + 1 = 6x\) và \({x_1} + 2{x_2} = \dfrac{1}{4}\left( {a + \sqrt b } \right)\) với a, b là hai số nguyên dương. Tính a + b.

A. \(a + b = 14\).

B. \(a + b = 11\).

C. \(a + b = 16\).

D. \(a + b = 13\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:642955

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp hàm đặc trưng.

Giải chi tiết

Ta có:

\({\log _7}\left( {\dfrac{{4{x^2} - 4x + 1}}{{2x}}} \right) + 4{x^2} + 1 = 6x\)

\( \Leftrightarrow {\log _7}\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) + \left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) = {\log _7}(2x) + 2x\)

\( \Leftrightarrow f\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) = f(2x)\) với \(f(t) = {\log _7}t + t\) xét trên khoảng \((0; + \infty )\).

Ta có: \(f'(t) = \dfrac{1}{{t\ln 7}} + 1 > 0,\forall t > 0\). Suy ra \(f(t)\) là hàm số đồng biến trên khoảng \((0; + \infty )\).

Vậy \((1) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4{x^2} - 4x + 1 = 2x}\\{2x > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4{x^2} - 4x + 1 = 2x}\\{2x > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4{x^2} - 6x + 1 = 0}\\{2x > 0}\end{array} \Leftrightarrow x = \dfrac{{3 \pm \sqrt 5 }}{4}} \right.} \right.} \right.\).

Mà \({x_1} + 2{x_2} = \dfrac{1}{4}\left( {a + \sqrt b } \right)\) với a, b là hai số nguyên dương, suy ra: \({x_1} = \dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{4},{x_2} = \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{4}\).

Do đó: \({x_1} + 2{x_2} = \dfrac{1}{4}\left( {9 + \sqrt 5 } \right)\).

Suy ra: \((a;b) = (9;5)\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.