Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A( - 1;2;5)\) và \(B(3; - 2;1)\). Xét khối nón (N) có đỉnh I là

Câu hỏi số 642957:

Vận dụng cao

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A( - 1;2;5)\) và \(B(3; - 2;1)\). Xét khối nón (N) có đỉnh I là trung điểm của AB, đường tròn đáy nằm trên mặt cầu đường kính AB. Khi (N) có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng chứa đường tròn đáy của (N) đi qua điểm \(C\left( {2;\sqrt 3 ;3} \right)\) và có phương trình dạng \(x + by + cz + d = 0\). Tính giá trị biểu thức \(T = b + c + d\).

A. \( - 5 + \sqrt 3 \).

B. \( - 2 + \sqrt 3 \).

C. \(5 + \sqrt 3 \).

D. \( - 2 + \sqrt 3 \).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:642957

Giải chi tiết

Ta có \(\overrightarrow {AB} = (4; - 4; - 4) \Rightarrow AB = 4\sqrt 3 \).

Gọi \((C)\) là mặt cầu tâm \(I\), đường kính AB nên \((C):\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{I(1;0;3)}\\{R = 2\sqrt 3 }\end{array}} \right.\).

Gọi \((P)\) là mặt phẳng chứa đáy hình nón.

Gọi CD là đường kính đường tròn giao tuyến của \((P)\) và \((C)\) nên \(r = \dfrac{{CD}}{2}\).

Gọi \({I^\prime }\) là hình chiếu của \(I\) trên \((P)\) nên \(h = I{I^\prime }\) và \({h^2} + {r^2} = {R^2} = 12\).

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:

\({V^2} = \dfrac{{{\pi ^2}}}{9}{h^2}{r^4} = \dfrac{{{\pi ^2}}}{{18}}2{h^2}{r^2}{r^2} \le \dfrac{{{\pi ^2}}}{{18}}\dfrac{{{{\left( {2{h^2} + {r^2} + {r^2}} \right)}^3}}}{3} = 256{\pi ^2} \Rightarrow V \le 16\pi .\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(2{h^2} = {r^2} \Rightarrow h = 2 \Rightarrow d(I,(P)) = 2\).

Mặt khác \(\overrightarrow {IC} = (1;\sqrt 3 ;0) \Rightarrow IC = d(I,(P))\) nên \(IC \bot (P)\) và \(C \in (P) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{(P)}}} = \overrightarrow {IC} = (1;\sqrt 3 ;0)\)

\( \Rightarrow (P):x + \sqrt 3 y - 5 = 0 \Rightarrow b + c + d = - 5 + \sqrt 3 {\rm{.}}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.