Trong không gian Oxyz, cho hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right):{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 36\);
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right):{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 36\); \(\left( {{S_2}} \right):{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 49\) và điểm \(A(7;2; - 5)\). Xét đường thẳng \(\Delta \) di động nhưng luôn tiếp xúc với \(\left( {{S_1}} \right)\) đồng thời cắt \(\left( {{S_2}} \right)\) tại hai điểm B, C phân biệt. Diện tích lớn nhất của tam giác ABC bằng
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right):{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 36\) có tâm \(I(1;2;3)\), bán kính \({R_1} = 6\).
Mặt cầu \(\left( {{S_2}} \right):{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 49\) có tâm \(I(1;2;3)\), bán kính \({R_2} = 7\).
Suy ra 2 mặt cầu trên đồng tâm. Dễ kiểm tra được điểm \(A(7;2; - 5)\) nằm ngoài \(\left( {{S_1}} \right)\) và nằm trong \(\left( {{S_2}} \right)\).
Gọi \(H\) là giao điểm của đường thẳng IA với mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\) (H không thuộc đoạn IA).
Trong tam giác BIH vuông tại H có: \(BH = \sqrt {B{I^2} - H{I^2}} = \sqrt {{7^2} - {6^2}} = \sqrt {13} \Rightarrow BC = 2\sqrt 3 \).
Giả sử \(\Delta \) tiếp xúc với \(\left( {{S_1}} \right)\) tại tiếp điểm \(K \ne H\) và cắt \(\left( {{S_2}} \right)\) tại hai điểm B’, C’ khác B, C
\( \Rightarrow B'C' = BC = 2\sqrt {13} \).
Ta có: \(A{H^\prime } \le AK \le AH\).
Gọi H’ là hình chiếu của A lên \(\Delta \) khi đó.
Ta có: \({S_{\Delta AB'C'}} = \dfrac{1}{2}AH'.B'C' = \dfrac{1}{2}AH'.2\sqrt {13} = AH'\sqrt {13} \le AH\sqrt {13} \).
\( \Rightarrow {\left( {{S_{\Delta AB'C'}}} \right)_{\max }} = AH\sqrt {13} \Leftrightarrow H' \equiv H\)
\( \Rightarrow \) Diện tích tam giác ABC lớn nhất khi \(\Delta \) tiếp xúc với \(\left( {{S_1}} \right)\) tại tiếp điểm \(H\).
Ta có: \(\overrightarrow {IA} = (6;0; - 8) \Rightarrow IA = 10\).
Phương trình đường thẳng \(IA:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 3t}\\{y = 2}\\{z = 3 - 4t}\end{array},H \in AI \Rightarrow H(1 + 3t;2;3 - 4t)} \right.\).
\(H \in \left( {{S_1}} \right) \Rightarrow {(1 + 3t - 1)^2} + {(2 - 2)^2} + {(3 - 4t - 3)^2} = 36 \Leftrightarrow {t^2} = \dfrac{{36}}{{25}} \Leftrightarrow t = \pm \dfrac{6}{5}.\)
Với \(t = \dfrac{6}{5}\) điểm \(H\left( {\dfrac{{23}}{5};2;\dfrac{{ - 9}}{5}} \right) \Rightarrow AH = 16 > 10 = IA \Rightarrow H\) là điểm cần tìm.
Diện tích lớn nhất của tam giác ABC là: \(S = \dfrac{1}{2}AH.BC = \dfrac{1}{2}.16.2\sqrt {13} = 16\sqrt {13} \).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
