Cho dãy số \({x_n} = \dfrac{{an + 4}}{{n + 2}}\). Dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số tăng

Câu hỏi số 643270:

Vận dụng

Cho dãy số \({x_n} = \dfrac{{an + 4}}{{n + 2}}\). Dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số tăng khi:

A. a = 2.

B. a > 2.

C. a < 2.

D. a > 1.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:643270

Phương pháp giải

Giải bất phương trình \(H = {x_{n + 1}} - {x_n} > 0\,\,\forall n\).

Giải chi tiết

Ta có \({x_{n + 1}} = \dfrac{{a\left( {n + 1} \right) + 4}}{{n + 1 + 2}} = \dfrac{{a\left( {n + 1} \right) + 4}}{{n + 3}}\).

Xét hiệu

\(\begin{array}{l}H = {x_{n + 1}} - {x_n}\\ = \dfrac{{a\left( {n + 1} \right) + 4}}{{n + 3}} - \dfrac{{an + 4}}{{n + 2}}\\ = \dfrac{{an\left( {n + 1} \right) + 2a\left( {n + 1} \right) + 4n + 8 - an - 4}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}}\\ = \dfrac{{a{n^2} + an + 2an + 2a + 4n - an + 4}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}}\\ = \dfrac{{a{n^2} + \left( {2a + 4} \right)n + 2a + 4}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}}\end{array}\)

Để dãy đã cho là dãy số tăng thì

\(\begin{array}{l}H > 0\,\,\forall n \Leftrightarrow a{n^2} + \left( {2a + 4} \right)n + 2a + 4 > 0\,\,\forall n\,\,\left( * \right)\\TH1:\,\,a = 0\\ \Rightarrow 4n + 4 > 0\,\,\forall n \Leftrightarrow n > - 1\,\,\,\forall n\,\,\left( {KTM} \right)\\TH2:\,\,a \ne 0\\ \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta ' = {\left( {a + 2} \right)^2} - a\left( {2a + 4} \right) < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\{a^2} + 4a + 4 - 2{a^2} - 4a < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\ - {a^2} + 4 < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\{a^2} > 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow a > 2.\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.