Tính các giới hạn saua) \(\lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} - 3{n^2}}} - n} \right)\)b) \(\lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3}

Câu hỏi số 648663:

Vận dụng

Tính các giới hạn sau

a) \(\lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} - 3{n^2}}} - n} \right)\)

b) \(\lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + 3}} - \sqrt {{n^2} + 2} } \right)\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:648663

Phương pháp giải

Giải chi tiết

a) \(\lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} - 3{n^2}}} - n} \right) = \lim \dfrac{{{n^3} - 3{n^2} - {n^3}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{n^3} - 3{n^2}} \right)}^2}}} + {n^2} - n \cdot \sqrt[3]{{{n^3} - 3{n^2}}}}} = - \lim \dfrac{3}{{\sqrt[3]{{{{\left( {1 - \dfrac{3}{n}} \right)}^2}}} + 1 - \sqrt[3]{{1 - \dfrac{3}{n}}}}}\)

Khi \(n \to \infty \) thì: \(\lim \dfrac{1}{n} = 0 \Rightarrow \lim \sqrt[3]{{1 - \dfrac{3}{n}}} = 1 \Rightarrow \lim \left( {\sqrt[3]{{{{\left( {1 - \dfrac{3}{n}} \right)}^2}}} + 1 - \sqrt[3]{{1 - \dfrac{3}{n}}}} \right) = 1\)

Do đó, \(\lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} - 3{n^2}}} - n} \right) = - 3\)

b) \(\lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + 3}} - \sqrt {{n^2} + 2} } \right) = \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + 3}} - n} \right) + \lim \left( {n - \sqrt {{n^2} + 2} } \right)\)

\( = \lim \dfrac{{{n^3} + 3 - {n^3}}}{{{{\left( {{n^3} + 3} \right)}^{\dfrac{2}{3}}} + {n^2} + n \cdot \sqrt[3]{{{n^3} + 3}}}} + \lim \dfrac{{{n^2} - {n^2} - 2}}{{n + \sqrt {{n^2} + 2} }} = \lim \dfrac{3}{{{{\left( {{n^3} + 3} \right)}^{\dfrac{2}{3}}} + {n^2} + n \cdot \sqrt[3]{{{n^3} + 3}}}} = \lim \dfrac{2}{{n + \sqrt {{n^2} + 2} }}\)

Khi \(n \to \infty \) thì: \(\lim \left( {{{\left( {{n^3} + 3} \right)}^{\dfrac{2}{3}}} + {n^2} + n \cdot \sqrt[3]{{{n^3} + 3}}} \right) = + \infty ;\lim \left( {n + \sqrt {{n^2} + 2} } \right) = + \infty \)

\( \Rightarrow \lim \dfrac{3}{{{{\left( {{n^3} + 3} \right)}^{\dfrac{2}{3}}} + {n^2} + n \cdot \sqrt[3]{{{n^3} + 3}}}} - \lim \dfrac{2}{{n + \sqrt {{n^2} + 2} }} = 0\). Do đó, \(\lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + 3}} - \sqrt {{n^2} + 2} } \right) = 0\)

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.