Tính các giới hạn saua) \(\lim \left( {\sqrt {4{n^2} + n} - \sqrt[3]{{2{n^2} - 8{n^3}}}} \right)\)b) \(\lim

Câu hỏi số 648665:

Vận dụng cao

Tính các giới hạn sau

a) \(\lim \left( {\sqrt {4{n^2} + n} - \sqrt[3]{{2{n^2} - 8{n^3}}}} \right)\)

b) \(\lim \dfrac{{\sqrt[3]{{2{n^2} - {n^3}}} + n}}{{\sqrt {{n^2} + n} - n}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:648665

Phương pháp giải

Thêm bớt rồi nhân liên hợp.

Giải chi tiết

a) \(\lim \left( {\sqrt {4{n^2} + n} - \sqrt[3]{{2{n^2} - 8{n^3}}}} \right) = \lim \left( {\sqrt {4{n^2} + n} + 2n} \right) - \lim \left( {\sqrt[3]{{2{n^2} - 8{n^3}}} + 2n} \right){\rm{ }}\)

\( = \lim \dfrac{{4{n^2} + n - 4{n^2}}}{{\sqrt {4{n^2} + n} - 2n}} + \lim \dfrac{{2{n^2} - 8{n^3} + 8{n^3}}}{{{{\left( {2{n^2} - 8{n^3}} \right)}^{\dfrac{2}{3}}} + 4{n^2} - 2n\sqrt[3]{{2{n^2} - 8{n^3}}}}}\)

\( = \lim \dfrac{n}{{\sqrt {4{n^2} + n} - 2n}} + \lim \dfrac{{2{n^2}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {2{n^2} - 8{n^3}} \right)}^2}}} + 4{n^2} - 2n \cdot \sqrt[3]{{8{n^3}\left( {\dfrac{1}{{4n}} - 1} \right)}}}}\)

\( = \dfrac{1}{{\lim \left( {\sqrt {4 + \dfrac{1}{n}} - 2} \right)}} + \dfrac{1}{{\lim \left[ {2 \cdot {{\left( {\dfrac{1}{{4n}} - 1} \right)}^{\dfrac{2}{3}}} + 2 - 2{{\left( {\dfrac{1}{{4n}} - 1} \right)}^{\dfrac{1}{3}}}} \right]}}\)

\({\rm{Khi }}n \to \infty {\rm{ th\`i : }}\lim \dfrac{1}{n} = 0\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\lim \left( {\sqrt {4 + \dfrac{1}{n}} - 2} \right) = 2 - 2 = 0}\\{\lim \left[ {2 \cdot {{\left( {\dfrac{1}{{4n}} - 1} \right)}^{\dfrac{2}{3}}} + 2 - 2{{\left( {\dfrac{1}{{4n}} - 1} \right)}^{\dfrac{1}{3}}}} \right] = - 2 + 2 + 2 = 2}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{\lim \left( {\sqrt {4 + \dfrac{1}{n}} - 2} \right)}} + \dfrac{1}{{\lim \left[ {2 \cdot {{\left( {\dfrac{1}{{4n}} - 1} \right)}^{\dfrac{2}{3}}} + 2 - 2{{\left( {\dfrac{1}{{4n}} - 1} \right)}^{\dfrac{1}{3}}}} \right]}} = + \infty \)

Do đó, \(\lim \left( {\sqrt {4{n^2} + n} - \sqrt[3]{{2{n^2} - 8{n^3}}}} \right) = + \infty \)

b) \(\lim \dfrac{{\sqrt[3]{{2{n^2} - {n^3}}} + n}}{{\sqrt {{n^2} + n} - n}} = \lim \dfrac{{2{n^2} - {n^3} + {n^3}}}{{{n^2} + n - {n^2}}} \cdot \dfrac{{\sqrt {{n^2} + n} + n}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {2{n^2} - {n^3}} \right)}^2}}} + {n^2} - n\sqrt[3]{{2{n^2} - {n^3}}}}}\)

\( = \lim \dfrac{{n\left( {n\sqrt {1 + \dfrac{1}{n}} + n} \right)}}{{\sqrt[3]{{{n^6} \cdot {{\left( {\dfrac{2}{n} - 1} \right)}^2}}} + {n^2} - n \cdot \sqrt[3]{{{n^3}\left( {\dfrac{2}{n} - 1} \right)}}}} = \lim \dfrac{{\sqrt {1 + \dfrac{1}{n}} + 1}}{{{{\left( {\dfrac{2}{n} - 1} \right)}^{\dfrac{2}{3}}} + 1 - \sqrt[3]{{\dfrac{2}{n} - 1}}}}\)

Khi \(n \to \infty \) thì: \(\lim \dfrac{1}{n} = 0 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\lim \left( {{{\left( {\dfrac{2}{n} - 1} \right)}^{\dfrac{2}{3}}} + 1 - \sqrt[3]{{\dfrac{2}{n} - 1}}} \right) = - 1 + 1 + 1 = 1}\\{\lim \left( {\sqrt {1 + \dfrac{1}{n}} + 1} \right) = 1}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \lim \dfrac{{\sqrt {1 + \dfrac{1}{n}} + 1}}{{{{\left( {\dfrac{2}{n} - 1} \right)}^{\dfrac{2}{3}}} + 1 - \sqrt[3]{{\dfrac{2}{n} - 1}}}} = 1\). Do đó, \(\lim \dfrac{{\sqrt[3]{{2{n^2} - {n^3}}} + n}}{{\sqrt {{n^2} + n} - n}} = 1\)

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.