Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dạng phân sốa) \(0,7777777777777 \ldots \)b)

Câu hỏi số 648666:

Vận dụng

Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dạng phân số

a) \(0,7777777777777 \ldots \)

b) \(0,277777777777 \ldots \)

c) \(0,3211111 \ldots \)

d) \(0,313131 \ldots \)

e) \(3,1525252 \ldots \)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:648666

Phương pháp giải

Áp dụng công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn.

Giải chi tiết

a) \(\dfrac{1}{{10}} + \dfrac{1}{{{{10}^2}}} + \dfrac{1}{{{{10}^3}}} + \ldots \) là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn công bội \(\dfrac{1}{{10}}\) nên

\(\dfrac{1}{{10}} + \dfrac{1}{{{{10}^2}}} + \dfrac{1}{{{{10}^3}}} + \ldots = \dfrac{{\dfrac{1}{{10}}}}{{1 - \dfrac{1}{{10}}}} = \dfrac{1}{9}\)

Suy ra \(0,7777777777777 \ldots = 7.0,11111111111 \ldots = 7\left( {\dfrac{1}{{10}} + \dfrac{1}{{{{10}^2}}} + \dfrac{1}{{{{10}^3}}} + \ldots } \right) = \dfrac{7}{9}\)

b) \(\dfrac{1}{{{{10}^2}}} + \dfrac{1}{{{{10}^3}}} + \dfrac{1}{{{{10}^4}}} + \ldots \) là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn công bội \(\dfrac{1}{{10}}\) nên

\(\dfrac{1}{{{{10}^2}}} + \dfrac{1}{{{{10}^3}}} + \dfrac{1}{{{{10}^4}}} + \ldots = \dfrac{{\dfrac{1}{{100}}}}{{1 - \dfrac{1}{{10}}}} = \dfrac{1}{{90}}{\rm{. Suy ra }}\)

\(0,27777777777 \ldots = 0,2 + 0,07777777 = \dfrac{2}{{10}} + 7 \cdot \dfrac{1}{{90}} = \dfrac{{25}}{{90}} = \dfrac{5}{{18}}\).

c) Ta có \(\dfrac{1}{{{{10}^3}}} + \dfrac{1}{{{{10}^4}}} + \dfrac{1}{{{{10}^5}}} + \ldots \) là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn công bội \(\dfrac{1}{{10}}\) nên

\(\dfrac{1}{{{{10}^3}}} + \dfrac{1}{{{{10}^4}}} + \dfrac{1}{{{{10}^5}}} + \ldots = \dfrac{{\dfrac{1}{{{{10}^3}}}}}{{1 - \dfrac{1}{{10}}}} = \dfrac{1}{{900}}\) suy ra \(0,321111 \ldots = \dfrac{{32}}{{100}} + \dfrac{1}{{900}} = \dfrac{{289}}{{900}}\)

d) Ta có \(\dfrac{1}{{{{10}^2}}} + \dfrac{1}{{{{10}^4}}} + \dfrac{1}{{{{10}^6}}} + \ldots \) là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn công bội \(\dfrac{1}{{{{10}^2}}}\) nên

\(\dfrac{1}{{{{10}^2}}} + \dfrac{1}{{{{10}^4}}} + \dfrac{1}{{{{10}^6}}} + \ldots = \dfrac{{\dfrac{1}{{{{10}^2}}}}}{{1 - \dfrac{1}{{{{10}^2}}}}} = \dfrac{1}{{99}}\) suy ra \(0,313131 \ldots = 31\left( {\dfrac{1}{{{{10}^2}}} + \dfrac{1}{{{{10}^4}}} + \dfrac{1}{{{{10}^6}}} + \ldots } \right) = 31 \cdot \dfrac{1}{{99}} = \dfrac{{31}}{{99}}\)

e) Ta có \(\dfrac{1}{{{{10}^3}}} + \dfrac{1}{{{{10}^5}}} + \dfrac{1}{{{{10}^7}}} + \ldots \) là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn công bội \(\dfrac{1}{{{{10}^2}}}\) nên

\(\dfrac{1}{{{{10}^3}}} + \dfrac{1}{{{{10}^5}}} + \dfrac{1}{{{{10}^7}}} + \ldots = \dfrac{{\dfrac{1}{{{{10}^3}}}}}{{1 - \dfrac{1}{{{{10}^2}}}}} = \dfrac{1}{{990}}\) suy ra

\(3,1525252 \ldots = \dfrac{{31}}{{10}} + 52\left( {\dfrac{1}{{{{10}^3}}} + \dfrac{1}{{{{10}^5}}} + \dfrac{1}{{{{10}^7}}} + \ldots } \right) = \dfrac{{31}}{{10}} + \dfrac{{52}}{{990}} = \dfrac{{3121}}{{990}}\)

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.