Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dạng phân sốa) \(0,7777777777777 \ldots \)b)

Câu hỏi số 648666:

Vận dụng

Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dạng phân số

a) \(0,7777777777777 \ldots \)

b) \(0,277777777777 \ldots \)

c) \(0,3211111 \ldots \)

d) \(0,313131 \ldots \)

e) \(3,1525252 \ldots \)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:648666

Phương pháp giải

Áp dụng công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn.

Giải chi tiết

a) \(\dfrac{1}{{10}} + \dfrac{1}{{{{10}^2}}} + \dfrac{1}{{{{10}^3}}} + \ldots \) là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn công bội \(\dfrac{1}{{10}}\) nên

\(\dfrac{1}{{10}} + \dfrac{1}{{{{10}^2}}} + \dfrac{1}{{{{10}^3}}} + \ldots = \dfrac{{\dfrac{1}{{10}}}}{{1 - \dfrac{1}{{10}}}} = \dfrac{1}{9}\)

Suy ra \(0,7777777777777 \ldots = 7.0,11111111111 \ldots = 7\left( {\dfrac{1}{{10}} + \dfrac{1}{{{{10}^2}}} + \dfrac{1}{{{{10}^3}}} + \ldots } \right) = \dfrac{7}{9}\)

b) \(\dfrac{1}{{{{10}^2}}} + \dfrac{1}{{{{10}^3}}} + \dfrac{1}{{{{10}^4}}} + \ldots \) là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn công bội \(\dfrac{1}{{10}}\) nên

\(\dfrac{1}{{{{10}^2}}} + \dfrac{1}{{{{10}^3}}} + \dfrac{1}{{{{10}^4}}} + \ldots = \dfrac{{\dfrac{1}{{100}}}}{{1 - \dfrac{1}{{10}}}} = \dfrac{1}{{90}}{\rm{. Suy ra }}\)

\(0,27777777777 \ldots = 0,2 + 0,07777777 = \dfrac{2}{{10}} + 7 \cdot \dfrac{1}{{90}} = \dfrac{{25}}{{90}} = \dfrac{5}{{18}}\).

c) Ta có \(\dfrac{1}{{{{10}^3}}} + \dfrac{1}{{{{10}^4}}} + \dfrac{1}{{{{10}^5}}} + \ldots \) là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn công bội \(\dfrac{1}{{10}}\) nên

\(\dfrac{1}{{{{10}^3}}} + \dfrac{1}{{{{10}^4}}} + \dfrac{1}{{{{10}^5}}} + \ldots = \dfrac{{\dfrac{1}{{{{10}^3}}}}}{{1 - \dfrac{1}{{10}}}} = \dfrac{1}{{900}}\) suy ra \(0,321111 \ldots = \dfrac{{32}}{{100}} + \dfrac{1}{{900}} = \dfrac{{289}}{{900}}\)

d) Ta có \(\dfrac{1}{{{{10}^2}}} + \dfrac{1}{{{{10}^4}}} + \dfrac{1}{{{{10}^6}}} + \ldots \) là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn công bội \(\dfrac{1}{{{{10}^2}}}\) nên

\(\dfrac{1}{{{{10}^2}}} + \dfrac{1}{{{{10}^4}}} + \dfrac{1}{{{{10}^6}}} + \ldots = \dfrac{{\dfrac{1}{{{{10}^2}}}}}{{1 - \dfrac{1}{{{{10}^2}}}}} = \dfrac{1}{{99}}\) suy ra \(0,313131 \ldots = 31\left( {\dfrac{1}{{{{10}^2}}} + \dfrac{1}{{{{10}^4}}} + \dfrac{1}{{{{10}^6}}} + \ldots } \right) = 31 \cdot \dfrac{1}{{99}} = \dfrac{{31}}{{99}}\)

e) Ta có \(\dfrac{1}{{{{10}^3}}} + \dfrac{1}{{{{10}^5}}} + \dfrac{1}{{{{10}^7}}} + \ldots \) là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn công bội \(\dfrac{1}{{{{10}^2}}}\) nên

\(\dfrac{1}{{{{10}^3}}} + \dfrac{1}{{{{10}^5}}} + \dfrac{1}{{{{10}^7}}} + \ldots = \dfrac{{\dfrac{1}{{{{10}^3}}}}}{{1 - \dfrac{1}{{{{10}^2}}}}} = \dfrac{1}{{990}}\) suy ra

\(3,1525252 \ldots = \dfrac{{31}}{{10}} + 52\left( {\dfrac{1}{{{{10}^3}}} + \dfrac{1}{{{{10}^5}}} + \dfrac{1}{{{{10}^7}}} + \ldots } \right) = \dfrac{{31}}{{10}} + \dfrac{{52}}{{990}} = \dfrac{{3121}}{{990}}\)

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.