Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dạng phân sốa) \(0,7777777777777 \ldots \)b)

Câu hỏi số 648666:

Vận dụng

Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dạng phân số

a) \(0,7777777777777 \ldots \)

b) \(0,277777777777 \ldots \)

c) \(0,3211111 \ldots \)

d) \(0,313131 \ldots \)

e) \(3,1525252 \ldots \)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:648666

Phương pháp giải

Áp dụng công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn.

Giải chi tiết

a) \(\dfrac{1}{{10}} + \dfrac{1}{{{{10}^2}}} + \dfrac{1}{{{{10}^3}}} + \ldots \) là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn công bội \(\dfrac{1}{{10}}\) nên

\(\dfrac{1}{{10}} + \dfrac{1}{{{{10}^2}}} + \dfrac{1}{{{{10}^3}}} + \ldots = \dfrac{{\dfrac{1}{{10}}}}{{1 - \dfrac{1}{{10}}}} = \dfrac{1}{9}\)

Suy ra \(0,7777777777777 \ldots = 7.0,11111111111 \ldots = 7\left( {\dfrac{1}{{10}} + \dfrac{1}{{{{10}^2}}} + \dfrac{1}{{{{10}^3}}} + \ldots } \right) = \dfrac{7}{9}\)

b) \(\dfrac{1}{{{{10}^2}}} + \dfrac{1}{{{{10}^3}}} + \dfrac{1}{{{{10}^4}}} + \ldots \) là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn công bội \(\dfrac{1}{{10}}\) nên

\(\dfrac{1}{{{{10}^2}}} + \dfrac{1}{{{{10}^3}}} + \dfrac{1}{{{{10}^4}}} + \ldots = \dfrac{{\dfrac{1}{{100}}}}{{1 - \dfrac{1}{{10}}}} = \dfrac{1}{{90}}{\rm{. Suy ra }}\)

\(0,27777777777 \ldots = 0,2 + 0,07777777 = \dfrac{2}{{10}} + 7 \cdot \dfrac{1}{{90}} = \dfrac{{25}}{{90}} = \dfrac{5}{{18}}\).

c) Ta có \(\dfrac{1}{{{{10}^3}}} + \dfrac{1}{{{{10}^4}}} + \dfrac{1}{{{{10}^5}}} + \ldots \) là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn công bội \(\dfrac{1}{{10}}\) nên

\(\dfrac{1}{{{{10}^3}}} + \dfrac{1}{{{{10}^4}}} + \dfrac{1}{{{{10}^5}}} + \ldots = \dfrac{{\dfrac{1}{{{{10}^3}}}}}{{1 - \dfrac{1}{{10}}}} = \dfrac{1}{{900}}\) suy ra \(0,321111 \ldots = \dfrac{{32}}{{100}} + \dfrac{1}{{900}} = \dfrac{{289}}{{900}}\)

d) Ta có \(\dfrac{1}{{{{10}^2}}} + \dfrac{1}{{{{10}^4}}} + \dfrac{1}{{{{10}^6}}} + \ldots \) là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn công bội \(\dfrac{1}{{{{10}^2}}}\) nên

\(\dfrac{1}{{{{10}^2}}} + \dfrac{1}{{{{10}^4}}} + \dfrac{1}{{{{10}^6}}} + \ldots = \dfrac{{\dfrac{1}{{{{10}^2}}}}}{{1 - \dfrac{1}{{{{10}^2}}}}} = \dfrac{1}{{99}}\) suy ra \(0,313131 \ldots = 31\left( {\dfrac{1}{{{{10}^2}}} + \dfrac{1}{{{{10}^4}}} + \dfrac{1}{{{{10}^6}}} + \ldots } \right) = 31 \cdot \dfrac{1}{{99}} = \dfrac{{31}}{{99}}\)

e) Ta có \(\dfrac{1}{{{{10}^3}}} + \dfrac{1}{{{{10}^5}}} + \dfrac{1}{{{{10}^7}}} + \ldots \) là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn công bội \(\dfrac{1}{{{{10}^2}}}\) nên

\(\dfrac{1}{{{{10}^3}}} + \dfrac{1}{{{{10}^5}}} + \dfrac{1}{{{{10}^7}}} + \ldots = \dfrac{{\dfrac{1}{{{{10}^3}}}}}{{1 - \dfrac{1}{{{{10}^2}}}}} = \dfrac{1}{{990}}\) suy ra

\(3,1525252 \ldots = \dfrac{{31}}{{10}} + 52\left( {\dfrac{1}{{{{10}^3}}} + \dfrac{1}{{{{10}^5}}} + \dfrac{1}{{{{10}^7}}} + \ldots } \right) = \dfrac{{31}}{{10}} + \dfrac{{52}}{{990}} = \dfrac{{3121}}{{990}}\)

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.