Tính các giới hạn sau [sử dụng phương pháp thêm bớt đại lượng] a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to

Câu hỏi số 648762:

Vận dụng cao

Tính các giới hạn sau [sử dụng phương pháp thêm bớt đại lượng]

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\sqrt {{x^2} + x + 2} - \sqrt[3]{{7x + 1}}}}{{\sqrt 2 (x - 1)}}\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2\sqrt {1 + x} - \sqrt[3]{{8 - x}}}}{x}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:648762

Phương pháp giải

Thêm bớt đại lượng thích hợp,sau đó tính giới hạn.

Giải chi tiết

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\sqrt {{x^2} + x + 2} - \sqrt[3]{{7x + 1}}}}{{\sqrt 2 (x - 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\left( {\sqrt {{x^2} + x + 2} - 2} \right) + (2 - \sqrt[3]{{7x + 1}})}}{{\sqrt 2 (x - 1)}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\sqrt {{x^2} + x + 2} - 2}}{{\sqrt 2 (x - 1)}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{2 - \sqrt[3]{{7x + 1}}}}{{\sqrt 2 (x - 1)}} = I + J.\)

\(I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\sqrt {{x^2} + x + 2} - 2}}{{\sqrt 2 (x - 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{{x^2} + x + 2 - 4}}{{\sqrt 2 (x - 1)\left( {\sqrt {{x^2} + x + 2} + 2} \right)}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{(x - 1)(x + 2)}}{{\sqrt 2 (x - 1)\left( {\sqrt {{x^2} + x + 2} + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{x + 2}}{{\sqrt 2 \left( {\sqrt {{x^2} + x + 2} + 2} \right)}} = \dfrac{3}{{4\sqrt 2 }}.\)

\(J = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{2 - \sqrt[3]{{7x + 1}}}}{{\sqrt 2 (x - 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{8 - 7x - 1}}{{\sqrt 2 (x - 1)\left[ {4 + 2\sqrt[3]{{7x + 1}} + {{(\sqrt[3]{{7x + 1}})}^2}} \right]}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{ - 7}}{{\sqrt 2 \left[ {4 + 2\sqrt[3]{{7x + 1}} + {{(\sqrt[3]{{7x + 1}})}^2}} \right]}} = \dfrac{{ - 7}}{{12\sqrt 2 }}.\)

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\sqrt {{x^2} + x + 2} - \sqrt[3]{{7x + 1}}}}{{\sqrt 2 (x - 1)}} = I + J = \dfrac{{\sqrt 2 }}{{12}}\).

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2\sqrt {1 + x} - \sqrt[3]{{8 - x}}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{(2\sqrt {1 + x} - 2) + (2 - \sqrt[3]{{8 - x}})}}{x}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2(\sqrt {1 + x} - 1)}}{x} + \dfrac{{2 - \sqrt[3]{{8 - x}}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{2}{{\sqrt {1 + x} + 1}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{4 + 2\sqrt[3]{{8 - x}} + \sqrt[3]{{{{(8 - x)}^2}}}}}\)

\( = \dfrac{2}{{\sqrt {1 + 0} + 1}} + \dfrac{1}{{4 + 2\sqrt[3]{{8 - 0}} + \sqrt[3]{{{{(8 - 0)}^2}}}}} = 1 + \dfrac{1}{{12}} = \dfrac{{13}}{{12}}.\)

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.