Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng :a) \(f(x) = \left\{

Câu hỏi số 650202:

Vận dụng

Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng :

a) \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{{x^3} + x + 2}}{{{x^3} + 1}}}&{{\rm{ khi }}x \ne - 1}\\{\dfrac{4}{3}}&{{\rm{ khi }}x = - 1}\end{array}} \right.\)

b) \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 3x + 4}&{{\rm{ khi }}x < 2}\\5&{{\rm{ khi }}x = 2}\\{2x + 1}&{{\rm{ khi }}x > 2}\end{array}} \right.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:650202

Phương pháp giải

Hàm số \(f(x)\) xác định trên khoảng \((a;b)\) được gọi là liên tục trên khoảng đó, nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.

Hàm số \(f(x)\) xác định trên đoạn [a ; b] được gọi là liên tục trên đoạn đó, nếu nó liên tục trên khoảng \((a;b)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = f(a),\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f(x) = f(b)\) (liên tục bên phải tại \(a\) và bên trái tại \(b\) )

Giải chi tiết

a) Tập xác định \(D = R\).

Khi \(x \ne 1\) hàm số liên tục trên các khoảng xác định \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Xét tính liên tục tại \(x = 1\), ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{{x^3} + x + 2}}{{{x^3} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{{x^3} + 1 + (x + 1)}}{{{x^3} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {1 + \dfrac{1}{{{x^2} - x + 1}}} \right) = \dfrac{4}{3}\)

Do đó, hàm số này liên tục tại \(x = - 1\).

Vậy hàm số liên tục trên R.

b) Tập xác định \(D = R\).

Khi \(x < 2\) ta có \(f\left( x \right) = {x^2} - 3x + 4\)

Hàm số xác định trên \(\left( { - \infty ;2} \right)\).

Khi \(x > 2\) ta có \(f\left( x \right) = 2x + 1\)

Hàm số xác định trên \(\left( {2; + \infty } \right)\).

Khi \(x = 2\), ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {{x^2} - 3x + 4} \right) = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} (2x + 1) = 5\)

Nhận thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x)\) nên hàm số gián đoạn tại \(x = 2\).

Do đó, hàm số đã cho liên tục trên \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.