Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng :a) \(f(x) = \left\{

Câu hỏi số 650203:

Vận dụng

Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng :

a) \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}}}&{{\rm{ khi }}x \ne - 2}\\{ - 4}&{{\rm{ khi }}x = - 2}\end{array}} \right.\)

b) \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{{x^2} - 2}}{{x - \sqrt 2 }}}&{{\rm{ khi }}x \ne \sqrt 2 }\\{2\sqrt 2 }&{{\rm{ khi }}x = \sqrt 2 }\end{array}} \right.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:650203

Phương pháp giải

Hàm số \(f(x)\) xác định trên khoảng \((a;b)\) được gọi là liên tục trên khoảng đó, nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.

Hàm số \(f(x)\) xác định trên đoạn [a ; b] được gọi là liên tục trên đoạn đó, nếu nó liên tục trên khoảng \((a;b)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = f(a),\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f(x) = f(b)\) (liên tục bên phải tại \(a\) và bên trái tại \(b\) ).

Giải chi tiết

a) Hàm số \(f(x)\) liên tục với \(\forall x \ne - 2\)(1)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \dfrac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \dfrac{{(x + 2)(x - 2)}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} (x - 2) = - 2 - 2 = - 4\).

Ta có \(f( - 2) = - 4 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f(x) = f( - 2) \Rightarrow f(x)\) liên tục tại \(x = - 2\).(2)

Từ (1) và (2) ta có \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

b) Hàm số \(f(x)\) liên tục với \(\forall x \ne \sqrt 2 \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } \dfrac{{{x^2} - 2}}{{x - \sqrt 2 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } \dfrac{{(x + \sqrt 2 )(x - \sqrt 2 )}}{{x - \sqrt 2 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } (x + \sqrt 2 ) = \sqrt 2 + \sqrt 2 = 2\sqrt 2 \).

\(f(\sqrt 2 ) = 2\sqrt 2 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } f(x) = f(\sqrt 2 ) \Rightarrow f(x)\) liên tục tại \(x = \sqrt 2 \)

Từ (1) và (2) ta có \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.