Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng :a) \(f(x) = \left\{

Câu hỏi số 650205:

Vận dụng

Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng :

a) \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{{x^3} - {x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}}}&{{\rm{ khi }}x \ne 1}\\{3x + m}&{{\rm{ khi }}x = 1}\end{array}} \right.\)

b) \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2}}&{{\rm{ khi }}x < 1}\\{2mx - 3}&{{\rm{ khi }}x \ge 1}\end{array}} \right.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:650205

Phương pháp giải

Hàm số \(f(x)\) xác định trên khoảng \((a;b)\) được gọi là liên tục trên khoảng đó, nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.

Hàm số \(f(x)\) xác định trên đoạn [a ; b] được gọi là liên tục trên đoạn đó, nếu nó liên tục trên khoảng \((a;b)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = f(a),\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f(x) = f(b)\) (liên tục bên phải tại \(a\) và bên trái tại \(b\) ).

Giải chi tiết

a) Hàm số \(f(x)\) liên tục với \(\forall x \ne 1\).

Do đó \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow f(x)\) liên tục tại \(x = 1 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = f(1)\)

Ta có \(f(1) = 3.1 + m = m + 3\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{{x^3} - {x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{(x - 1)\left( {{x^2} + 2} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} + 2} \right) = 1 + 2 = 3.{\rm{ }}\)

Khi đó \((1) \Leftrightarrow 3 = m + 3 \Leftrightarrow m = 0\).

b) Hàm số \(f(x)\) liên tục với \(\forall x \ne 1\).

Ta có \(f(1) = 2m.1 - 3 = 2m - 3\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} (2mx - 3);\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {x^2} = {1^2} = 1.\)

\({\rm{YCBT }} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = f(1) \Leftrightarrow 2m - 3 = 1 = 2m - 3 \Leftrightarrow m = 2.\)

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.