Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm:a) \({x^5} - 3x + 3 = 0\)b) \({x^4} + {x^3} - 3{x^2} +

Câu hỏi số 650206:

Vận dụng

Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm:

a) \({x^5} - 3x + 3 = 0\)

b) \({x^4} + {x^3} - 3{x^2} + x + 1 = 0\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:650206

Phương pháp giải

Nếu hàm \(f\) liên tục trên [a ; b] và \(f(a) \cdot f(b) < 0\) thì tồn tại ít nhất một điểm \(c \in (a;b)\) sao cho \(f(c) = 0\)

Giải chi tiết

a) Xét \(f(x) = {x^5} - 3x + 3\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty \Rightarrow \) tồn tại một số \({x_1} > 0\) sao cho \(f\left( {{x_1}} \right) > 0\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = - \infty \Rightarrow \) tồn tại một số \({x_2} < 0\) sao cho \(f\left( {{x_2}} \right) < 0\).

Từ đó \(f\left( {{x_1}} \right) \cdot f\left( {{x_2}} \right) < 0 \Rightarrow \) luôn tồn tại một số \({x_0} \in \left( {{x_2};{x_1}} \right):f\left( {{x_0}} \right) = 0\) nên phương trình \({x^5} - 3x + 3 = 0\) luôn có nghiệm.

b) Xét \(f(x) = {x^4} + {x^3} - 3{x^2} + x + 1\) liên tục trên \(R\)

Ta có: \(f( - 1) = - 3 < 0\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty \Rightarrow \) tồn tại một số \(a > 0\) sao cho \(f(a) > 0\).

\( \Rightarrow {x^2} - x - 3 = 0\) nên luôn tồn tại một số \({x_0} \in (0;a)\) thỏa mãn \(f\left( {{x_0}} \right) = 0\) nên phương trình \({x^4} + {x^3} - 3{x^2} + x + 1 = 0\) luôn có nghiệm.

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.