Cho hình vuông A B C D có cạnh bằng \(a\). Người ta dựng hình vuông \({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) có cạnh

Câu hỏi số 650337:

Vận dụng

Cho hình vuông A B C D có cạnh bằng \(a\). Người ta dựng hình vuông \({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) có cạnh bằng \(\dfrac{1}{2}\) đường chéo của hình vuông A B C D; dựng hình vuông \({A_2}{B_2}{C_2}{D_2}\) có cạnh bằng \(\dfrac{1}{2}\) đường chéo của hình vuông \({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) và cứ tiếp tục như vậy. Giả sứ cách dựng trên có thể tiến ra vô hạn. Nếu tồng điện tích \(S\) của tất cả các hình vuông \(ABCD,{A_1}{B_1}{C_1}{{\rm{D}}_1},{A_2}{B_2}{C_2}{{\rm{D}}_2} \ldots \) bằng 8 thì \(a\) bằng:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:650337

Phương pháp giải

Dựa vào tổng cấp số nhân lùi vô hạn.

Giải chi tiết

Ta có \({S_{ABCD}} = {a^2};{S_{{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}}} = {\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = \dfrac{{{a^2}}}{2};{S_{{A_2}{B_2}{C_2}{D_2}}} = {\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2} = \dfrac{{{a^2}}}{4} = \dfrac{{{a^2}}}{{{2^2}}}\)

\(S = {S_{ABCD}} + {S_{A{B_1}{C_1}{D_1}}} + {S_{{A_2}{B_2}{C_2}{D_2}}} + \ldots = {a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{2} + \dfrac{{{a^2}}}{{{2^2}}} + \ldots = {a^2}\left( {1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \ldots } \right) = {a^2} \cdot \dfrac{1}{{1 - \dfrac{1}{2}}} = 2{a^2}\)

Mà \(S = 8 \Leftrightarrow 2{a^2} = 8 \Leftrightarrow a = 2\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.