Cho hình thang cân \({\rm{ABCD}}({\rm{AB}}//{\rm{CD}},{\rm{AB}} < {\rm{CD}}),{\rm{AD}}\) cắt \({\rm{BC}}\) tại

Câu hỏi số 652140:

Vận dụng cao

Cho hình thang cân \({\rm{ABCD}}({\rm{AB}}//{\rm{CD}},{\rm{AB}} < {\rm{CD}}),{\rm{AD}}\) cắt \({\rm{BC}}\) tại \({\rm{O}}\).

a) Chứng minh rằng \(\Delta {\rm{OAB}}\) cân

b) Gọi \({\rm{I}},{\rm{J}}\) lần lượt là trung điểm của \({\rm{AB}}\) và \({\rm{CD}}\). Chứng minh rằng ba điểm \({\rm{I}},{\rm{J}},{\rm{O}}\) thẳng hàng

c) Qua điểm \({\rm{M}}\) thuộc cạnh \({\rm{AC}}\), vẽ đường thẳng song song với \({\rm{CD}}\), cắt \({\rm{BD}}\) tại \({\rm{N}}\). Chứng minh rằng \({\rm{MNAB}},{\rm{MNDC}}\) là các hình thang cân.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:652140

Phương pháp giải

a) Chứng minh \(\Delta {\rm{OAB}}\) cân tại O vì có hai góc \(\angle OAB = \angle OBA\)

b) Chứng minh OI vừa là trung tuyến vừa là đường phân giác trong \(\Delta OAB\) cân tại O;

OJ vừa là trung tuyến vừa là đường phân giác trong \(\Delta OCD\) cân tại O

c) Chứng minh MNDC là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau \(\angle ACD = \angle BDC\) (cần chứng minh \(\Delta BDC = \Delta ACD(c - g - c)\))

Chứng minh MNAB là hình thang có hai đường chéo AM = BN

Giải chi tiết

a) Vì ABCD là hình thang cân (GT) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AD = BD,AC = BD\\\angle ADC = \angle BCD\end{array} \right.(t/c)\)

Vì \(AB\parallel CD \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\angle OAB = \angle ADC\\\angle OBA = \angle BCD\end{array} \right.\) (hai góc đồng vị)

\( \Rightarrow \angle OAB = \angle OBA \Rightarrow \Delta OAB\) cân tại O

Vậy \(\Delta {\rm{OAB}}\) cân tại O

b) Xét \(\Delta {\rm{OAB}}\) cân tại O có OI là đường trung tuyến (GT)

\( \Rightarrow OI\) đồng thời là đường phân giác của \(\angle AOB\) (1)

Xét \(\Delta OCD\) cân tại O (vì \(\angle ACD = \angle BCD\)) có: OJ là đường trung tuyến (GT)

\( \Rightarrow OJ\) đồng thời là đường phân giác của \(\angle COD\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra O, I, J thẳng hàng

c) Xét tứ giác MNCD có: \(MN\parallel CD\) (GT) \( \Rightarrow MNDC\) là hình thang (3)

Xét \(\Delta BDC\) và \(\Delta ACD\) có:

\(\left\{ \begin{array}{l}CD\,\,\,\,\,chung\\\angle ADC = \angle BCD\\AD = BC\end{array} \right. \Rightarrow \Delta BDC = \Delta ACD(c - g - c)\) (hai góc tương ứng)

\( \Rightarrow \angle ACD = \angle BDC\) (hai góc tương ứng) (4)

Từ (3) và (4) suy ra MNDC là hình thang cân (đpcm)

\( \Rightarrow MC = DN\) (tính chất)

Mà AC = BD

\( \Rightarrow AC - MC = BD - DN \Rightarrow AM = BN\) (5)

Ta có \(MN\parallel CD,CD\parallel AB \Rightarrow MN\parallel AB \Rightarrow MNAB\) là hình thang (6)

Từ (5) và (6) \( \Rightarrow MNAB\) là hình thang cân

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link