Cho hình thang cân \({\rm{ABCD}}({\rm{AB}}//{\rm{CD}},{\rm{AB}} < {\rm{CD}}),{\rm{AD}}\) cắt \({\rm{BC}}\) tại

Câu hỏi số 652140:

Vận dụng cao

Cho hình thang cân \({\rm{ABCD}}({\rm{AB}}//{\rm{CD}},{\rm{AB}} < {\rm{CD}}),{\rm{AD}}\) cắt \({\rm{BC}}\) tại \({\rm{O}}\).

a) Chứng minh rằng \(\Delta {\rm{OAB}}\) cân

b) Gọi \({\rm{I}},{\rm{J}}\) lần lượt là trung điểm của \({\rm{AB}}\) và \({\rm{CD}}\). Chứng minh rằng ba điểm \({\rm{I}},{\rm{J}},{\rm{O}}\) thẳng hàng

c) Qua điểm \({\rm{M}}\) thuộc cạnh \({\rm{AC}}\), vẽ đường thẳng song song với \({\rm{CD}}\), cắt \({\rm{BD}}\) tại \({\rm{N}}\). Chứng minh rằng \({\rm{MNAB}},{\rm{MNDC}}\) là các hình thang cân.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:652140

Phương pháp giải

a) Chứng minh \(\Delta {\rm{OAB}}\) cân tại O vì có hai góc \(\angle OAB = \angle OBA\)

b) Chứng minh OI vừa là trung tuyến vừa là đường phân giác trong \(\Delta OAB\) cân tại O;

OJ vừa là trung tuyến vừa là đường phân giác trong \(\Delta OCD\) cân tại O

c) Chứng minh MNDC là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau \(\angle ACD = \angle BDC\) (cần chứng minh \(\Delta BDC = \Delta ACD(c - g - c)\))

Chứng minh MNAB là hình thang có hai đường chéo AM = BN

Giải chi tiết

a) Vì ABCD là hình thang cân (GT) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AD = BD,AC = BD\\\angle ADC = \angle BCD\end{array} \right.(t/c)\)

Vì \(AB\parallel CD \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\angle OAB = \angle ADC\\\angle OBA = \angle BCD\end{array} \right.\) (hai góc đồng vị)

\( \Rightarrow \angle OAB = \angle OBA \Rightarrow \Delta OAB\) cân tại O

Vậy \(\Delta {\rm{OAB}}\) cân tại O

b) Xét \(\Delta {\rm{OAB}}\) cân tại O có OI là đường trung tuyến (GT)

\( \Rightarrow OI\) đồng thời là đường phân giác của \(\angle AOB\) (1)

Xét \(\Delta OCD\) cân tại O (vì \(\angle ACD = \angle BCD\)) có: OJ là đường trung tuyến (GT)

\( \Rightarrow OJ\) đồng thời là đường phân giác của \(\angle COD\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra O, I, J thẳng hàng

c) Xét tứ giác MNCD có: \(MN\parallel CD\) (GT) \( \Rightarrow MNDC\) là hình thang (3)

Xét \(\Delta BDC\) và \(\Delta ACD\) có:

\(\left\{ \begin{array}{l}CD\,\,\,\,\,chung\\\angle ADC = \angle BCD\\AD = BC\end{array} \right. \Rightarrow \Delta BDC = \Delta ACD(c - g - c)\) (hai góc tương ứng)

\( \Rightarrow \angle ACD = \angle BDC\) (hai góc tương ứng) (4)

Từ (3) và (4) suy ra MNDC là hình thang cân (đpcm)

\( \Rightarrow MC = DN\) (tính chất)

Mà AC = BD

\( \Rightarrow AC - MC = BD - DN \Rightarrow AM = BN\) (5)

Ta có \(MN\parallel CD,CD\parallel AB \Rightarrow MN\parallel AB \Rightarrow MNAB\) là hình thang (6)

Từ (5) và (6) \( \Rightarrow MNAB\) là hình thang cân

Tham Gia Group Dành Cho Lớp 8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link