Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z + 1)^2} = 4\) và đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( {1;0; - 2} \right)\) nhận \(\vec u = \left( {1;a;4 - a} \right)\) (với \(a \in \mathbb{R}\) ) làm vectơ chỉ phương. Biết rằng \(d\) cắt \(\left( S \right)\) tại hai điểm phân biệt mà các tiếp diện của \(\left( S \right)\) tại hai điểm đó vuông góc với nhau. Hỏi \({a^2}\) thuộc khoảng nào dưới đây?

Câu 652450: Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z + 1)^2} = 4\) và đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( {1;0; - 2} \right)\) nhận \(\vec u = \left( {1;a;4 - a} \right)\) (với \(a \in \mathbb{R}\) ) làm vectơ chỉ phương. Biết rằng \(d\) cắt \(\left( S \right)\) tại hai điểm phân biệt mà các tiếp diện của \(\left( S \right)\) tại hai điểm đó vuông góc với nhau. Hỏi \({a^2}\) thuộc khoảng nào dưới đây?

A. \(\left( {8;\dfrac{{17}}{2}} \right)\).

B. \(\left( {25;\dfrac{{51}}{2}} \right)\).

C. \(\left( {\dfrac{{23}}{2};12} \right)\).

D. \(\left( {\dfrac{3}{2};2} \right)\).

Câu hỏi : 652450

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Xác định khoảng cách từ tâm đến đường thẳng d. Sau đó giải phương trình khoảng cách.

Đáp án : C
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1; - 2; - 1} \right)\) bán kính \(R = 2\)
Gọi \(C,D\) là các giao điểm của \(d\) với mặt cầu. Từ giả thiết bài ra suy ra \({\rm{\Delta }}ICD\) vuông cân tại \(I\) , có \(IC = ID = 2 \Rightarrow d\left( {I;d} \right) = IH = \dfrac{1}{2}CD = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{2} = \sqrt 2 \).
Ta lại có \(d\left( {I;d} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IA} ,\vec u} \right]} \right|}}{{\left| {\vec u} \right|}} = \sqrt 2 \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt {{a^2} - 16a + 69} }}{{\sqrt {2{a^2} - 8a + 17} }} = \sqrt 2 \)
\( \Leftrightarrow {a^2} - 16a + 69 = 4{a^2} - 16a + 34 \Leftrightarrow 3{a^2} = 35 \Leftrightarrow {a^2} = \dfrac{{35}}{3} \in \left( {\dfrac{{23}}{2};12} \right)\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.