Trên tập số phức, xét phương trình \({z^2} + az + b = 0{\rm{\;}}\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\). Có

Câu hỏi số 652453:

Vận dụng cao

Trên tập số phức, xét phương trình \({z^2} + az + b = 0{\rm{\;}}\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\). Có bao nhiêu cặp số \(\left( {a,b} \right)\) để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} + 1} \right| = 2\) và \(\left| {{z_2} - 3 + 2i} \right| = 4\)?

A. 2.

B. 4.

C. 6.

D. 5.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:652453

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Ta có \({\rm{\Delta }} = {a^2} - 4b\).

TH1: \({a^2} - 4b > 0\), phương trình có hai nghiệm thực \({z_1},{z_2}\). Khi đó

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left| {{z_1} + 1} \right| = 2}\\{\left| {{z_2} - 3 + 2i} \right| = 4}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{z_1} + 1 = \pm 2}\\{\sqrt {{{\left( {{z_2} - 3} \right)}^2} + 4} = 4}\end{array}} \right.} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{z_1} = 1}\\{{z_1} = - 3}\\{{z_2} = 3 \pm 2\sqrt 3 }\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\),suy ra có 4 cặp \((a,b)\) thỏa mãn.

TH2: \({a^2} - 4b < 0\), phương trình có hai nghiệm phức liên hợp \({z_1} = x + yi,{z_2} = x - yi.x,y \in \mathbb{R}\);

\(y \ne 0\). Theo giả thiết, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left| {{z_1} + 1} \right| = 2}\\{\left| {{z_2} - 3 + 2i} \right| = 4}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {{{(x + 1)}^2} + {y^2}} = 2}\\{\sqrt {{{(x - 3)}^2} + {{( - y + 2)}^2}} = 4}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + {y^2} + 2x - 3 = 0}\\{{x^2} + {y^2} - 6x - 4y - 3 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + y = 0}\\{{x^2} + {y^2} + 2x - 3 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1}\\{y = 2}\end{array}} \right.} \right.} \right.\) hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \dfrac{3}{5}}\\{y = - \dfrac{6}{5}}\end{array}} \right.\).

Suy ra \({z_1} = - 1 + 2i,{z_2} = - 1 - 2i\) hoặc \({z_1} = \dfrac{3}{5} - \dfrac{6}{5}i,{z_2} = \dfrac{3}{5} + \dfrac{6}{5}i\); do đó có 2 cặp \(\left( {a,b} \right)\) thỏa mãn điều kiện \({a^2} - 4b < 0\) trong trường hợp này.

Vậy có tất cả có 6 cặp \(\left( {a,b} \right)\) thỏa yêu cầu bài.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.