Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông và \(SA \bot (ABCD)\). Gọi H, I, K lần lượt là hình

Câu hỏi số 660667:

Thông hiểu

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông và \(SA \bot (ABCD)\). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB, SC và SD. Chứng minh rằng:

a) \(BC \bot (SAB),CD \bot (SAD),BD \bot (SAC)\).

b) \(SC \bot (AHK)\) và điểm \(I\) thuộc mặt phẳng \((AHK)\).

c) \(HK \bot (SAC)\) và \(HK \bot AI\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:660667

Phương pháp giải

\(a \bot \left( P \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \bot m\\a \bot n\end{array} \right.\) với m,n là hai đường thẳng cắt nhau thuộc (P)

\(a \bot \left( P \right)\) thì a vuông góc mọi đường thẳng trong (P)

Giải chi tiết

a) Ta có \(BC \bot AB\) (vì ABCD là hình vuông) và \(SA \bot BC\) (vì \(SA \bot (ABCD)\) suy ra \(BC \bot (SAB)\)

Ta có \(CD \bot AD\) (vì ABCD là hình vuông) và \(SA \bot CD\) (vì \(SA \bot (ABCD)\) suy ra \(CD \bot (SAD)\)

Ta có \(BD \bot AC\) (vì ABCD là hình vuông) và \(SA \bot BD\) (vì \(SA \bot (ABCD)\), suy ra \(BD \bot (SAC)\)

b) Ta có \(BC \bot (SAB)\) và \(AH \subset (SAB)\), suy ra \(BC \bot AH\). Mặt khác \(AH \bot SB\), suy ra \(AH \bot (SBC)\), suy ra \(AH \bot SC\).

Tương tự ta có \(AK \bot CD\) và \(AK \bot SD\), suy ra \(AK \bot (SCD)\), suy ra \(AK \bot SC\).

Từ (1) và (2) suy ra \(SC \bot (AHK)\).

Ta có \(SC \bot (AHK)\) và \(AI \bot SC\), suy ra \(I \in (AHK)\).

c) Ta có \(SA \bot (ABCD) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{SA \bot AB}\\{SA \bot AD}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\angle SAB = {{90}^\circ }}\\{\angle SAD = {{90}^\circ }}\end{array}} \right.} \right.\).

Xét \(\Delta SAB\) và \(\Delta SAD\), ta có:

SA là cạnh chung;

\(\begin{array}{l}\angle SAB = \angle SAD = {90^\circ }\\AB = AD\end{array}\)

Suy ra \(\Delta SAB = \Delta SAD\) (c.g.c),

suy ra \(SB = SD,SH = SK\).

Suy ra \(\dfrac{{SH}}{{SB}} = \dfrac{{SK}}{{SD}}\). Vậy \(HK//BD\).

Theo câu a) ta có \(BD \bot (SAC)\), suy ra \(HK \bot (SAC)\).

Ta lại có \(AI \subset (SAC)\), suy ra \(HK \bot AI\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.