Cho hình vuông ABCD cạnh AB = 16cm, lấy điểm H bất kỳ trên cạnh BC (H khác B và C), qua B kẻ

Câu hỏi số 664605:

Vận dụng

Cho hình vuông ABCD cạnh AB = 16cm, lấy điểm H bất kỳ trên cạnh BC (H khác B và C), qua B kẻ đường thẳng (d) vuông góc với DH tại M, gọi K là giao điểm của CD và (d).

a) Chứng minh rằng tứ giác BMCD nội tiếp trong một đường tròn.

b) Chứng minh rằng KH vuông góc với BD.

c) Gọi x, y lần lượt là diện tích của các tam giác HAB và HCD. Xác định vị trí của điểm H trên cạnh BC để \({x^2} + {y^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:664605

Phương pháp giải

a) Hai đỉnh M, C kề nhau cùng nhìn BD dưới một góc \({90^0}\).

b) Chứng minh H là trực tâm của tam giác BDK.

c) \(BH = k\,\,\left( {0 < k < 16} \right)\). Tính BH, CH theo k và tìm GTNN của \({x^2} + {y^2}\) theo k.

Giải chi tiết

a) Chứng minh rằng tứ giác BMCD nội tiếp trong một đường tròn.

Ta có: \(\angle BMD = \angle BCD = {90^0}\,\,\left( {gt} \right)\).

Mà hai đỉnh M, C kề nhau cùng nhìn BD dưới một góc \({90^0}\).

=> BMCD nội tiếp đường tròn đường kính BD (đpcm).

b) Chứng minh rằng KH vuông góc với BD.

Xét tam giác BDK có:

\(\begin{array}{l}BC \bot CD \Rightarrow BC \bot DK\\DH \bot d \Rightarrow DM \bot BK\\BC \cap DM = \left\{ H \right\}\end{array}\)

\( \Rightarrow H\) là trực tâm của tam giác BDK.

\( \Rightarrow KH \bot BD\,\,\left( {dpcm} \right)\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}x = {S_{\Delta HAB}} = \dfrac{1}{2}AB.BH = \dfrac{1}{2}.16.BH = 8BH\\y = {S_{\Delta HCD}} = \dfrac{1}{2}CD.CH = \dfrac{1}{2}.16.CH = 8CH\\ \Rightarrow {x^2} + {y^2} = 64\left( {B{H^2} + C{H^2}} \right)\end{array}\)

Đặt \(BH = k\,\,\left( {0 < k < 16} \right) \Rightarrow CH = 16 - k\).

Khi đó ta có

\(\begin{array}{l}B{H^2} + C{H^2} = {k^2} + {\left( {16 - k} \right)^2} = 2{k^2} - 32k + 256\\ = 2\left( {{k^2} - 16k + 64} \right) + 128 = 2{\left( {k - 8} \right)^2} + 128 \ge 128\,\,\forall 0 < k < 16\end{array}\)

\( \Rightarrow {x^2} + {y^2} \ge 64.128 = 8192\).

Dấu “=’ xảy ra khi \(k - 8 = 0 \Leftrightarrow k = 8.\)

Vậy \({x^2} + {y^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 8192 khi k = 8 hay H là trung điểm của BC.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link