Cho hình vuông ABCD cạnh AB = 16cm, lấy điểm H bất kỳ trên cạnh BC (H khác B và C), qua B kẻ
Cho hình vuông ABCD cạnh AB = 16cm, lấy điểm H bất kỳ trên cạnh BC (H khác B và C), qua B kẻ đường thẳng (d) vuông góc với DH tại M, gọi K là giao điểm của CD và (d).
a) Chứng minh rằng tứ giác BMCD nội tiếp trong một đường tròn.
b) Chứng minh rằng KH vuông góc với BD.
c) Gọi x, y lần lượt là diện tích của các tam giác HAB và HCD. Xác định vị trí của điểm H trên cạnh BC để \({x^2} + {y^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Quảng cáo
a) Hai đỉnh M, C kề nhau cùng nhìn BD dưới một góc \({90^0}\).
b) Chứng minh H là trực tâm của tam giác BDK.
c) \(BH = k\,\,\left( {0 < k < 16} \right)\). Tính BH, CH theo k và tìm GTNN của \({x^2} + {y^2}\) theo k.
a) Chứng minh rằng tứ giác BMCD nội tiếp trong một đường tròn.
Ta có: \(\angle BMD = \angle BCD = {90^0}\,\,\left( {gt} \right)\).
Mà hai đỉnh M, C kề nhau cùng nhìn BD dưới một góc \({90^0}\).
=> BMCD nội tiếp đường tròn đường kính BD (đpcm).
b) Chứng minh rằng KH vuông góc với BD.
Xét tam giác BDK có:
\(\begin{array}{l}BC \bot CD \Rightarrow BC \bot DK\\DH \bot d \Rightarrow DM \bot BK\\BC \cap DM = \left\{ H \right\}\end{array}\)
\( \Rightarrow H\) là trực tâm của tam giác BDK.
\( \Rightarrow KH \bot BD\,\,\left( {dpcm} \right)\).
c) Gọi x, y lần lượt là diện tích của các tam giác HAB và HCD. Xác định vị trí của điểm H trên cạnh BC để \({x^2} + {y^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Ta có:
\(\begin{array}{l}x = {S_{\Delta HAB}} = \dfrac{1}{2}AB.BH = \dfrac{1}{2}.16.BH = 8BH\\y = {S_{\Delta HCD}} = \dfrac{1}{2}CD.CH = \dfrac{1}{2}.16.CH = 8CH\\ \Rightarrow {x^2} + {y^2} = 64\left( {B{H^2} + C{H^2}} \right)\end{array}\)
Đặt \(BH = k\,\,\left( {0 < k < 16} \right) \Rightarrow CH = 16 - k\).
Khi đó ta có
\(\begin{array}{l}B{H^2} + C{H^2} = {k^2} + {\left( {16 - k} \right)^2} = 2{k^2} - 32k + 256\\ = 2\left( {{k^2} - 16k + 64} \right) + 128 = 2{\left( {k - 8} \right)^2} + 128 \ge 128\,\,\forall 0 < k < 16\end{array}\)
\( \Rightarrow {x^2} + {y^2} \ge 64.128 = 8192\).
Dấu “=’ xảy ra khi \(k - 8 = 0 \Leftrightarrow k = 8.\)
Vậy \({x^2} + {y^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 8192 khi k = 8 hay H là trung điểm của BC.
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
