Cho \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x\) trên

Câu hỏi số 665497:

Thông hiểu

Cho \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x\) trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(F\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = 0\). Giá trị của biểu thức \(S = F\left( { - \pi } \right) + 2F\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right)\) bằng

A. \(S = \dfrac{3}{4} - \dfrac{\pi }{4}\).

B. \(S = \dfrac{3}{2} - \dfrac{{3\pi }}{8}\).

C. \(S = \dfrac{1}{4} + \dfrac{{3\pi }}{8}\).

D. \(S = \dfrac{3}{4} - \dfrac{{3\pi }}{8}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:665497

Phương pháp giải

Biến đổi vi phân về hàm cơ bản. Từ \(F\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = 0\) tìm hằng số C.

Giải chi tiết

Vì Cho \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x\) nên ta có

\(\int {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x{\rm{\;d}}x = \int \dfrac{{1 - {\rm{cos}}2x}}{2}{\rm{\;d}}x = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4}{\rm{sin}}2x + C = F\left( x \right)\).

Ta có \(F\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = 0 \Rightarrow \dfrac{\pi }{8} - \dfrac{1}{4} + C = 0 \Rightarrow C = \dfrac{1}{4} - \dfrac{\pi }{8}\).

Suy ra \(F\left( x \right) = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4}{\rm{sin}}2x + \dfrac{1}{4} - \dfrac{\pi }{8}\).

Khi đó \(S = F\left( { - \pi } \right) + 2F\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = \left( {\dfrac{1}{4} - \dfrac{{5\pi }}{8}} \right) + 2\left( {\dfrac{1}{4} + \dfrac{\pi }{8}} \right) = \dfrac{3}{4} - \dfrac{{3\pi }}{8}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.