Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{\left( {x + 2} \right)^2} +
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 25\) và đường thẳng \(d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 3 - t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\). Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C). Khi đường tròn (C) có bán kính nhỏ nhất thì mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là:
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Gọi I là tâm mặt cầu (S), tìm I.
Để (C) có bán kính nhỏ nhất thì khoảng cách từ I đến (P) phải lớn nhất.
Gọi J, H lần lượt là hình chiếu vuông góc của I lên (P) và (d).
Chứng minh IJ lớn nhất khi \(J \equiv H \Rightarrow IH \bot \left( P \right)\).
Gọi I là tâm mặt cầu (S) \( \Rightarrow I\left( { - 2;3;4} \right)\).
Để (C) có bán kính nhỏ nhất thì khoảng cách từ I đến (P) phải lớn nhất.
Gọi J, H lần lượt là hình chiếu vuông góc của I lên (P) và (d) ta có \(IJ \le IH\).
Do đó IJ lớn nhất khi \(J \equiv H \Rightarrow IH \bot \left( P \right)\).
Vì \(H \in d \Rightarrow H\left( {2t;3 - t;1 + 2t} \right)\).
\( \Rightarrow \overrightarrow {IH} = \left( {2t + 2; - t;2t - 3} \right)\).
Đường thẳng d có VTCP \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2; - 1;2} \right)\).
Vì \(IH \bot d \Rightarrow \overrightarrow {IH} .\overrightarrow {{u_d}} = 0 \Rightarrow 2\left( {2t + 2} \right) - \left( { - t} \right) + 2\left( {2t - 3} \right) = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4t + 4 + t + 4t - 6 = 0 \Leftrightarrow 9t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{2}{9}\\ \Rightarrow \overrightarrow {IH} = \left( {\dfrac{{22}}{9}; - \dfrac{2}{9}; - \dfrac{{23}}{9}} \right) = \dfrac{1}{9}\left( {22; - 2; - 23} \right)\end{array}\)
Vậy mặt phẳng (P) có 1 VTPT \(\overrightarrow n = \left( {22; - 2; - 23} \right)\).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
