Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {3;0; - 1} \right)\), \(B\left( { - 1;2;3}

Câu hỏi số 666138:

Vận dụng

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {3;0; - 1} \right)\), \(B\left( { - 1;2;3} \right)\), \(C\left( {1;4;1} \right)\). Tìm điểm M trên mp(Oxy) sao cho \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

A. \(M\left( {0;0;1} \right)\).

B. \(M\left( {1;2;1} \right)\).

C. \(M\left( {0;2;1} \right)\).

D. \(M\left( {1;2;0} \right)\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:666138

Phương pháp giải

Gọi điểm I thoả mãn \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \) \( \Rightarrow I\) là trọng tâm của tam giác ABC. Tìm toạ độ điểm I.

Sử dụng \(M{A^2} = {\overrightarrow {MA} ^2}\), phân tích biểu thức \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\) bằng cách chèn thêm điểm I vào các vectơ.

Đánh giá và chứng tỏ \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất khi MI đạt giá trị nhỏ nhất, từ đó suy ra vị trí và toạ độ điểm M.

Giải chi tiết

Gọi điểm I thoả mãn \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \) \( \Rightarrow I\) là trọng tâm của tam giác ABC.

\( \Rightarrow I\left( {1;2;1} \right)\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}P = M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\\ \Rightarrow P = {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2}\\ \Rightarrow P = {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)^2}\\ \Rightarrow P = 3M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} } \right) + I{A^2} + I{B^2} + I{C^2}\\ \Rightarrow P = 3M{I^2} + I{A^2} + I{B^2} + I{C^2}\end{array}\)

Vì I, A, B, C cố định nên \(I{A^2} + I{B^2} + I{C^2}\) không đổi.

Do đó P đạt giá trị nhỏ nhất khi MI đạt giá trị nhỏ nhất \( \Rightarrow M\) là hình chiếu của I lên (Oxy).

Vậy M(1;2;0).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.