Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB là tam giác đều cạnh a và nằm

Câu hỏi số 666775:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB là tam giác đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Mặt phẳng (SCD) tạo với mặt phẳng đáy góc \({30^0}\). Thể tích khối chóp S.ABCD là:

A. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\).

B. \(\dfrac{{5{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).

C. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\).

D. \(\dfrac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{4}\).

Đáp án đúng là: A

Phương pháp giải

Gọi H là trung điểm của AB. Chứng minh \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Xác định góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông, suy ra độ dài BC.

Tính thể tích \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}}\).

Giải chi tiết

Gọi H là trung điểm của AB. Vì tam giác SAB đều nên \(SH \bot AB\).

Ta có \(\left. \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right) = AB\\SH \subset \left( {SAB} \right),\,\,SH \bot AB\end{array} \right\} \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Gọi M là trung điểm của CD.

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}HM \bot CD\\SH \bot CD\end{array} \right\} \Rightarrow CD \bot \left( {SHM} \right) \Rightarrow CD \bot SM\).

\(\left. \begin{array}{l}\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\\SM \bot CD\\HM \bot CD\end{array} \right\} \Rightarrow \angle \left( {\left( {SCD} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle SMH = {30^0}\).

Tam giác SAB đều cạnh a \( \Rightarrow SH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Xét tam giác vuông SHM: \(HM = SH.\cot {30^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\sqrt 3 = \dfrac{{3a}}{2} = BC\)

\( \Rightarrow {S_{ABCD}} = AB.BC = a.\dfrac{{3a}}{2} = \dfrac{{3{a^2}}}{2}\).

Vậy \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{3{a^2}}}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\).

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:666775

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.