Cho khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác vuông tại A, \(AB = a,\,\,AC = \sqrt 3 a\). Hình

Câu hỏi số 666780:

Vận dụng

Cho khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác vuông tại A, \(AB = a,\,\,AC = \sqrt 3 a\). Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng \(\left( {A'B'C'} \right)\) là trung điểm H của B’C’. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng \(\left( {BCC'B'} \right)\) là \(\dfrac{{\sqrt 3 a}}{4}\). Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A. \(\dfrac{{3{a^3}}}{8}\).

B. \(\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{4}\).

C. \(\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{2}\).

D. \(\dfrac{{3{a^3}}}{4}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:666780

Phương pháp giải

Kẻ \(AI \bot BC\), trong (AHI) kẻ \(AK \bot HI\). Chứng minh \(d\left( {A,\left( {BCC'B'} \right)} \right) = AK\).

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính AI, AH.

Tính thể tích \({V_{ABC.A'B'C'}} = AH.{S_{\Delta ABC}}\).

Giải chi tiết

Vì \(AH \bot \left( {A'B'C'} \right) \Rightarrow AH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow AH \bot BC\).

Kẻ \(AI \bot BC\), trong (AHI) kẻ \(AK \bot HI\).

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}BC \bot AH\\BC \bot AI\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {AHI} \right) \Rightarrow BC \bot AK\).

\(\left. \begin{array}{l}AK \bot BC\\AK \bot HI\end{array} \right\} \Rightarrow AK \bot \left( {BCC'B'} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {A,\left( {BCC'B'} \right)} \right) = AK = \dfrac{{\sqrt 3 a}}{4}\)

Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AI \( \Rightarrow AI = \dfrac{{AB.AC}}{{\sqrt {A{B^2} + A{C^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Xét tam giác AHI vuông tại A đường cao AK có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{A{K^2}}} = \dfrac{1}{{A{I^2}}} + \dfrac{1}{{A{H^2}}}\\ \Rightarrow \dfrac{1}{{\dfrac{{3{a^2}}}{{16}}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{{3{a^2}}}{4}}} + \dfrac{1}{{A{H^2}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{16}}{{3{a^2}}} = \dfrac{4}{{3{a^2}}} + \dfrac{1}{{A{H^2}}}\\ \Rightarrow \dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{{12}}{{3{a^2}}} = \dfrac{4}{{{a^2}}} \Rightarrow AH = \dfrac{a}{2}\end{array}\)

Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = AH.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{a}{2}.\dfrac{1}{2}.a.a\sqrt 3 = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.