Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y = \left| {{x^3} - m{x^2} + 12x + 2m} \right|\) đồng

Câu hỏi số 666781:

Vận dụng

Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y = \left| {{x^3} - m{x^2} + 12x + 2m} \right|\) đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) là:

A. 19.

B. 18.

C. 20.

D. 17.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:666781

Phương pháp giải

Hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) đồng biến trên \(\left( {a; + \infty } \right)\) khi và chỉ khi

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}y'\left( a \right) \ge 0\,\,\forall x \in \left( {a; + \infty } \right)\\y\left( a \right) \ge 0\end{array} \right.\)

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}y'\left( a \right) \le 0\,\,\forall x \in \left( {a; + \infty } \right)\\y\left( a \right) \le 0\end{array} \right.\)

Giải chi tiết

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - m{x^2} + 12x + 2m\).

TH1: \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm thuộc \(\left( {1; + \infty } \right)\) thì hàm số không thể đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\).

TH2: \(f\left( x \right) = 0\) không có nghiệm thuộc \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Ta có \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 2mx + 12\).

Ta có: \(y = \left| {f\left( x \right)} \right| \Rightarrow y' = \dfrac{{f\left( x \right).f'\left( x \right)}}{{\left| {f\left( x \right)} \right|}}\).

Để hàm số đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\) thì \(y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right) \Leftrightarrow f\left( x \right).f'\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \) nên để \(f\left( x \right).f'\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\) thì

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - m{x^2} + 12x + 2m \ge 0\,\,\forall x > 1\\3{x^2} - 2mx + 12 \ge 0\,\,\forall x > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) \ge 0\\3{x^2} - 2mx + 12 \ge 0\,\,\forall x > 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}13 + m \ge 0\\3{x^2} - 2mx + 12 \ge 0\,\,\forall x > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge - 13\\3{x^2} - 2mx + 12 \ge 0\,\,\forall x > 1\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\)

\(\left( * \right) \Leftrightarrow 2mx \le 3{x^2} + 12\,\,\forall x > 1 \Leftrightarrow 2m \le 3x + \dfrac{{12}}{x} = g\left( x \right)\,\,\forall x > 1\)

Ta có: \(g'\left( x \right) = 3 - \dfrac{{12}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow x = 2\).

\( \Rightarrow 2m \le g\left( x \right)\,\,\forall x > 1 \Leftrightarrow 2m \le g\left( 2 \right) = 12 \Leftrightarrow m \le 6\).

Vậy \( - 13 \le m \le 6 \Rightarrow m \in \left\{ { - 13; - 12;...;6} \right\}\) nên có 20 giá trị nguyên m thoả mãn.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.