Cho hàm số \(y = \dfrac{{2\sqrt {x + 1} + m}}{{\sqrt {x + 1} + 1}}\) với m là tham số thực. Gọi

Câu hỏi số 666782:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = \dfrac{{2\sqrt {x + 1} + m}}{{\sqrt {x + 1} + 1}}\) với m là tham số thực. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của m để hàm số có giá trị lớn nhất trên [-1;8] nhỏ hơn 3. Số phần tử của tập S là:

A. 3.

B. 0.

C. 1.

D. 2.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:666782

Phương pháp giải

Đặt \(t = \sqrt {x + 1} \), đưa hàm số về biến t.

Chia các trường hợp hàm số đồng biến, nghịch biến trên đoạn đã cho.

Giải chi tiết

Đặt \(t = \sqrt {x + 1} ,\) với \(x \in \left[ { - 1;8} \right] \Rightarrow t \in \left[ {0;3} \right]\).

Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để hàm số \(y = \dfrac{{2t + m}}{{t + 1}}\) có giá trị lớn nhất trên \(\left[ {0;3} \right]\) nhỏ hơn 3.

Hàm số xác định trên \(\left[ {0;3} \right]\).

Ta có \(y' = \dfrac{{2 - m}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}}\).

TH1: \(2 - m > 0 \Leftrightarrow m < 2\), hàm số có \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = y\left( 3 \right) = \dfrac{{6 + m}}{4} < 3 \Leftrightarrow 6 + m < 12 \Leftrightarrow m < 6\).

\( \Rightarrow m < 2\).

TH2: \(2 - m < 0 \Leftrightarrow m > 2\), hàm số có \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = y\left( 0 \right) = m < 3\).

\( \Rightarrow 2 < m < 3\).

TH3: \(2 - m = 0 \Leftrightarrow m = 2\), hàm số trở thành \(y = 2\) nên có GTLN \(\left[ {0;3} \right]\) nhỏ hơn 3

\( \Rightarrow m = 2\) thoả mãn.

Kết hợp 2 TH \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 2\\2 < m < 3\\m = 2\end{array} \right.\). Mà m là số nguyên dương \( \Rightarrow m \in \left\{ {1;2} \right\}\).

Vậy có 2 giá trị m thoả mãn.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.