Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left( {1 - {m^3}} \right){x^3} + 3{x^2} + \left( {4 - m} \right)x + 2\) với m

Câu hỏi số 666784:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left( {1 - {m^3}} \right){x^3} + 3{x^2} + \left( {4 - m} \right)x + 2\) với m là tham số. Có bao nhiêu số tự nhiên m để phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm \(x \in \left[ {\dfrac{1}{{2023}};2023} \right]\)?

A. 2023.

B. 2024.

C. 2025.

D. 2022.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:666784

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp hàm đặc trưng.

Giải chi tiết

Xét phương trình \(f\left( x \right) = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {1 - {m^3}} \right){x^3} + 3{x^2} + \left( {4 - m} \right)x + 2 = 0\\ \Leftrightarrow {m^3}{x^3} + mx = {x^3} + 3{x^2} + 4x + 2\\ \Leftrightarrow {\left( {mx} \right)^3} + mx = {\left( {x + 1} \right)^3} + \left( {x + 1} \right)\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Xét hàm đặc trưng \(g\left( t \right) = {t^3} + t\) có \(g'\left( t \right) = 3{t^2} + 1 > 0\,\,\forall t \in \mathbb{R}\) nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Do đó phương trình (*) \( \Leftrightarrow mx = x + 1 \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)x - 1 = 0\).

+ TH1: \(m = 1 \Rightarrow 0x - 1 = 0\) (vô nghiệm)

+ TH2: \(m \ne 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{{m - 1}}\).

Để phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm \(x \in \left[ {\dfrac{1}{{2023}};2023} \right]\) thì

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{2023}} \le \dfrac{1}{{m - 1}} \le 2023\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{2023}} \le m - 1 \le 2023\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2024}}{{2023}} \le m \le 2024\end{array}\)

Mà m là số tự nhiên \( \Rightarrow m \in \left\{ {2;3;...;2024} \right\}\) nên có 2023 giá trị m thoả mãn.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.