Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho hàm số \(y = 2{x^2}\) có đồ thị \(\left( P \right)\)

Câu hỏi số 667355:

Vận dụng

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho hàm số \(y = 2{x^2}\) có đồ thị \(\left( P \right)\) và hàm số \(y = 3x - 1\) có đồ thị là đường thẳng \(\left( \Delta \right)\).

a) Vẽ đồ thị \(\left( P \right)\)

b) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) bằng phép tính

c) Tìm \(m\) để đường thẳng \(\left( d \right):y = - 2\left( {{m^2} - 2} \right)x - 2m + 6\) cắt đồ thị \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn \(2{x_1}{x_2} - {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = - 1\)

Phương pháp giải

a) Vẽ đồ thị dạng \(y = a{x^2}(a \ne 0)\)

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm \(\left( P \right)\) và \(\left( \Delta \right)\).

c) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d).

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình hoành độ giao điểm có 2 nghiệm phân biệt.

Thực hiện hệ thức.

Giải chi tiết

a) Ta có bảng giá trị sau:

Đồ thị hàm số là đường cong parabol đi qua các điểm \(O\left( {0;0} \right),\,\,A\left( { - 2;8} \right),\,\,B\left( { - 1;2} \right),\)

\(C\left( {1;2} \right),\,\,D\left( {2;8} \right)\)

Hệ số \(a = 2 > 0\) nên parabol có bề cong hướng lên trên

Đồ thị hàm số nhận \(Oy\) làm trục đối xứng

Ta vẽ được đồ thị hàm số \(y = 2{x^2}\) như sau:

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm \(\left( P \right)\) và \(\left( \Delta \right)\) ta được

\(2{x^2} = 3x - 1 \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {2x - 1} \right)\left( {x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\2x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)

Với \(x = 1 \Rightarrow y = {2.1^2} = 2\)

Với \(x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow y = 2.{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{1}{2}\)

Vậy tọa độ 2 giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( \Delta \right)\) là \(\left( {1;2} \right),\,\,\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\)

c) Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) ta được:

\(\begin{array}{l}2{x^2} = - 2\left( {m - 2} \right)x - 2m + 6\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 2\left( {m - 2} \right)x + 2m - 6 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + \left( {m - 2} \right)x + m - 3 = 0\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Xét (1): \(\Delta = {\left( {m - 2} \right)^2} - 4\left( {m - 3} \right) = {m^2} - 5m + 7 = {\left( {m - \dfrac{5}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} > 0,\,\,\forall m \in \mathbb{R}\)

Do đó phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi \(m \in \mathbb{R}\)

Áp dụng định lý Viete ta được \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2 - m\\{x_1}{x_2} = m - 3\end{array} \right.\)

Ta có: \(2{x_1}{x_2} - {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = - 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2{x_1}{x_2} - x_1^2 - x_2^2 + 2{x_1}{x_2} = - 1\\ \Rightarrow - x_1^2 - x_2^2 - 2{x_1}{x_2} + 6{x_1}{x_2} = - 1\\ \Rightarrow - {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + 6{x_1}{x_2} = - 1\\ \Rightarrow - {\left( {2 - m} \right)^2} + 6\left( {m - 3} \right) = - 1\\ \Rightarrow {\left( {2 - m} \right)^2} - 6\left( {m - 3} \right) - 1 = 0\\ \Rightarrow {m^2} - 10m + 21 = 0\\ \Rightarrow \left( {m - 7} \right)\left( {m - 3} \right) = 0\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 7 = 0\\m - 3 = 0\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 7\\m = 3\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(m \in \left\{ {3;7} \right\}\)

Xem lời giải

Câu hỏi:667355

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.