Cho phương trình \(\left( {3.{x^{{{\log }_2}x - {{\log }_2}3}} - x} \right).\sqrt {{{10}^x} - m} = 0\). Gọi

Câu hỏi số 667690:

Vận dụng cao

Cho phương trình \(\left( {3.{x^{{{\log }_2}x - {{\log }_2}3}} - x} \right).\sqrt {{{10}^x} - m} = 0\). Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị của tham số \(m \in \left[ { - 9; + \infty } \right) \cap \mathbb{Z}\) để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm thực phân biệt. Số phần tử của \(S\) bằng

A. 912.

B. 900.

C. 910.

D. 911.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:667690

Phương pháp giải

\(A.B = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\).

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ge {\log _{10}}m\end{array} \right.\) (*)

Ta có: \(\left( {3.{x^{{{\log }_2}x - {{\log }_2}3}} - x} \right).\sqrt {{{10}^x} - m} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3.{x^{{{\log }_2}x - {{\log }_2}3}} - x = 0\\{10^x} = m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3.{x^{{{\log }_2}x - {{\log }_2}3}} - x = 0\,\,\left( 1 \right)\\x = {\log _{10}}m\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^{{{\log }_x}3}}.{x^{{{\log }_2}x - {{\log }_2}3}} - x = 0\\ \Leftrightarrow {x^{{{\log }_x}3 + {{\log }_2}x - {{\log }_2}3}} = x\\ \Leftrightarrow {\log _x}3 + {\log _2}x - {\log _2}3 = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{{\log }_3}x}} + {\log _2}x - {\log _2}3 = 1\\ \Leftrightarrow 1 + {\log _2}x.{\log _3}x - {\log _2}x = {\log _3}x\\ \Leftrightarrow {\log _2}x.{\log _3}x - {\log _2}x - {\log _3}x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{{\log }_2}x - 1} \right)\left( {{{\log }_3}x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}x = 1\\{\log _3}x = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 3\end{array} \right.\end{array}\)

TH1: \(m \le 0\)

Khi đó phương trình đã cho có 2 nghiệm \(x = 2,\,\,x = 3\)

Mà \(m \in \mathbb{Z},\,\,m \in \left[ { - 9; + \infty } \right) \Rightarrow m \in \left\{ { - 9; - 8; \ldots ;0} \right\}\)

TH2: \(m = 1\) thì \(\left( * \right)\) trở thành \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 0\)

Khi đó phương trình có 3 nghiệm \(x = 0,\,\,x = 2,\,\,x = 3\,\,\left( {KTM} \right)\)

TH3: \(m > 1\) thì \(\left( * \right)\) trở thành \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ge {\log _{10}}m\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge {\log _{10}}m\)

Khi đó phương trình chắc chắn có nghiệm \(x = {\log _{10}}m\)

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình chỉ có thể nhận 1 trong 2 nghiệm \(x = 2,\,\,x = 3\)

Nếu \(2 > {\log _{10}}m \Rightarrow 3 > {\log _{10}}m\). Do đó phương trình có 3 nghiệm (loại)

Nếu \(\left[ \begin{array}{l}{\log _{10}}m = 2\\{\log _{10}}m = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 100\\m = 1000\end{array} \right.\). Khi đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt (thỏa mãn)

Nếu \(2 < {\log _{10}}m \Leftrightarrow m > 100\). Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thì \(3 > {\log _{10}}m \Leftrightarrow m < 1000\)

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {101;102; \ldots ;999} \right\}\)

Vậy có 911 số thỏa mãn

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.