Cho khối nón S, bán kính đáy bằng \(3\sqrt 3 \) và có góc ở đỉnh bằng \({120^0}\). Gọi A và B là

Câu hỏi số 668459:

Vận dụng

Cho khối nón S, bán kính đáy bằng \(3\sqrt 3 \) và có góc ở đỉnh bằng \({120^0}\). Gọi A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho tam giác SAB là tam giác vuông, khoảng cách từ tâm đường tròn đáy đến mặt phẳng (SAB) bằng:

A. \(\dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}\).

B. \(\sqrt 3 \).

C. \(\dfrac{3}{2}\).

D. 3.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:668459

Phương pháp giải

Gọi I là trung điểm của AB, kẻ \(OH \bot SI\). Chứng minh \(OH \bot \left( {SAB} \right)\).

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: \(OH = \dfrac{{SO.OI}}{{\sqrt {S{O^2} + O{I^2}} }}\).

Giải chi tiết

Gọi I là trung điểm của AB, kẻ \(OH \bot SI\). Ta có:

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}AB \bot OI\\AB \bot SO\end{array} \right\} \Rightarrow AB \bot \left( {SOI} \right) \Rightarrow AB \bot OH\\\left. \begin{array}{l}OH \bot SI\\OH \bot AB\end{array} \right\} \Rightarrow OH \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow d\left( {O;\left( {SAB} \right)} \right) = OH\end{array}\)

Vì góc ở đỉnh hình nón bằng \({120^0} \Rightarrow \angle OSA = {60^0}\).

Xét tam giác vuông SOA có: \(SA = \dfrac{{OA}}{{\sin {{60}^0}}} = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{{\sin {{60}^0}}} = 6\), \(SO = OA.\cot {60^0} = 3\sqrt 3 .\dfrac{1}{{\sqrt 3 }} = 3\).

Tam giác SAB vuông, lại có SA = SB nên \(\Delta SAB\) vuông cân tại S \( \Rightarrow AB = 6\sqrt 2 \Rightarrow AI = 3\sqrt 2 \).

Xét tam giác vuông OAI: \(OI = \sqrt {O{A^2} - A{I^2}} = \sqrt {{{\left( {3\sqrt 3 } \right)}^2} - {{\left( {3\sqrt 2 } \right)}^2}} = 3\).

Xét tam giác vuông SOI, đường cao OH có: \(OH = \dfrac{{SO.OI}}{{\sqrt {S{O^2} + O{I^2}} }} = \dfrac{{3.3}}{{\sqrt {{3^2} + {3^2}} }} = \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.