1) Một mảnh vườn hình thang $ABCD$ có $\angle BAD = \angle ADC = 90^\circ $, \(AB = 3{\rm{\;m}},AD =

Câu hỏi số 669180:

Vận dụng

1) Một mảnh vườn hình thang $ABCD$ có $\angle BAD = \angle ADC = 90^\circ $, $AB = 3{\rm{\;m}},AD = 5{\rm{\;m}},DC = 7{\rm{\;m}}$. Người ta trồng hoa trên phần đất là nửa hình tròn tâm $O$ đường kính $AD$, phần còn lại của mảnh vườn để trồng cỏ (phần tô đậm trong hình vẽ bên). Tính diện tích phần đất trồng cỏ (kết quả làm tròn đến chũ số thập phân thư hai, lấy $\pi \approx 3,14$ ).

2) Cho tam giác $ABC$ nhọn $(AB < AC)$ nội tiếp $\left( O \right)$. Hai đường cao $AD$ và $BE$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M$ là trung điểm của $AH$, đường thẳng đi qua $M$ vuông góc với $BM$ cắt $AC$ tại $N$. Gọi $K$ là giao điểm thứ hai của $AH$ với đường tròn tâm $O$.

a) Chứng minh bốn điểm $B,M,E,N$ cùng thuộc một đường tròn và $\angle MBN = \angle KAC$.

b) Kéo dài $KN$ cắt đường tròn $\left( O \right)$ tại $T$. Chứng minh tam giác $BHK$ cân và ba điểm $B,O,T$ thẳng hàng.

Phương pháp giải

1) Diện tích hình thang bằng: đáy lớn đáy nhỏ ta đem cộng vào, thế rồi nhân với chiều cao, chia đôi lấy nửa thế nào cũng ra.

Diện tích hình tròn đường kính d là $S = \pi .{\left( {\dfrac{d}{2}} \right)^2}$

Diện tích đất trồng còn lại bằng diện tích hình thang trừ đi nửa diện tích hình tròn.

2) a)

- Chứng minh tứ giác BMEN nội tiếp vì có 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh dưới một góc bằng nhau.

- Sử dụng tính chất góc ngoài tại đỉnh E bằng góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp MBEN.

Sử dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông AHE.

- Chứng minh $\angle BHD = \angle BCE$ vì cùng phụ với góc $\angle HBD$

Chứng minh $\angle BKA = \angle BCA$ vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB

Từ đó suy ra được tam giác $BHK$ cân tại B

- Chứng minh tứ giác BMNK nội tiếp vì có 2 đỉnh liên tiếp cùng nhìn một cạnh dưới một góc bằng nhau.

Suy ra tổng 2 góc đối bằng $180^\circ $, suy ra được $\angle BKT = 90^\circ \Rightarrow $ BT là đường kính

Suy ra B, O, T thẳng hàng

Giải chi tiết

1) Diện tích hình thang $ABCD$ là $\dfrac{{\left( {AB + DC} \right).AD}}{2} = \dfrac{{\left( {3 + 7} \right).5}}{2} = 25{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}$.

Diện tích nửa hình tròn đường kính $AD$ là $\dfrac{1}{2}\pi .{\left( {\dfrac{5}{2}} \right)^2} = \dfrac{{\pi .{{(2,5)}^2}}}{2} = \dfrac{{25\pi }}{8}{m^2}$.

Diện tích phần đất trồng cỏ là $25 - \dfrac{{25\pi }}{8} \approx 15,19{m^2}$.

a) Ta có: $\angle BMN = \angle BEN = {90^\circ }(gt)$.

Mà ${\rm{M}},{\rm{E}}$ là hai đỉnh kề nhau cùng nhìn ${\rm{BN}}$ dưới hai góc bằng nhau.

Suy ra BMEN là tứ giác nội tiếp (dhnb)

Hay ${\rm{B}},{\rm{M}},{\rm{E}},{\rm{N}}$ cùng thuộc một đường tròn (dpcm.

Vì BMEN là tứ giác nội tiếp (cmt) nên $\angle MBN = \angle AEM$ (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp).

Xét tam giác ${\rm{AHE}}$ vuông tại ${\rm{E}}$, có đường trung tuyến ${\rm{EM}}$ ứng với cạnh huyền ${\rm{AH}}$ $ \Rightarrow ME = \dfrac{1}{2}AH = MA = MH$.

$ \Rightarrow \Delta MAE$ cân tại ${\rm{M}}$ (định nghĩa)

$ \Rightarrow \angle EAM = \angle MAE = \angle KAC$ (tính chất)

Vậy $\angle MBN = \angle KAC(dpcm)$.

b) Xét tam giác BHD vuông tại ${\rm{D}}$ có: $\angle BHD + \angle HBD = {90^\circ }$.

Xét tam giác ${\rm{BEC}}$ vuông tại ${\rm{E}}$ có: $\angle BCE + \angle HBD = {90^\circ }$.

$ \Rightarrow \angle BHD = \angle BCE = \angle BCA{\rm{. }}$

Mà $\angle BKH = \angle BKA = \angle BCA$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ${\rm{AB}}$ ).

$ \Rightarrow \angle BHD = \angle BKH{\rm{. }}$

$ \Rightarrow BHK$ cân tại ${\rm{B}}$ (đpcm).

Ta có $\angle{BHK} = \angle {MHE} = \angle {MEH} = \angle {MNB} \Rightarrow \angle {BKM} = \angle {BNM}$.

Do đó tứ giác BMNK nội tiếp.

$ \Rightarrow \angle {BMN} + \angle {BKN} = {180^\circ } \Rightarrow \widehat {BKN} = \angle {BKT} = 90^\circ $

$ \Rightarrow K$ thuộc đường tròn đường kính $B T$.

Mà $B,K,T \in (O) \Rightarrow BT$ là đường kính của $(O)$

$ \Rightarrow B,O,T$ thẳng hàng (dpcm)

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:669180

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.