a) Giải phương trình \({x^2} + 4x = 2\sqrt {1 + 3x} + \sqrt {2x - 1} \).b) Cho \(x,y,z\) là các số

Câu hỏi số 669181:

Vận dụng cao

a) Giải phương trình \({x^2} + 4x = 2\sqrt {1 + 3x} + \sqrt {2x - 1} \).

b) Cho \(x,y,z\) là các số thực dương thỏa mãn \(x + y + z = 1\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{x + yz}}{{y + z}} + \dfrac{{y + zx}}{{z + x}} + \dfrac{{z + xy}}{{x + y}}.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:669181

Phương pháp giải

a) Phương pháp nhẩm nghiệm, thêm bớt.

Sử dụng phương pháp liên hợp: \(A - B = \dfrac{{{A^2} - {B^2}}}{{A + B}};A + B = \dfrac{{{A^2} - {B^2}}}{{A - B}}\)

Đưa về dạng tích A.B = 0

b) Từ giả thiết \(x + y + z = 1\), chứng minh \(\left\{ \begin{array}{l}x + yz = \left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)\\y + zx = \left( {y + z} \right)\left( {y + x} \right)\\z + xy = \left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)\end{array} \right.\)

Thay vảo biểu thức P.

Đặt \(x + y = a,y + z = b,z + x = c \Rightarrow a,b,c > 0\)

Áp dụng BĐT Cosi cho 2 số âm.

Giải chi tiết

a) ĐКХĐ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 + 3x \ge 0}\\{2x - 1 \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge - \dfrac{1}{3}}\\{x \ge \dfrac{1}{2}}\end{array} \Leftrightarrow x \ge \dfrac{1}{2}} \right.} \right.\)

Ta có: \({x^2} + 4x = 2\sqrt {1 + 3x} + \sqrt {2x - 1} \)

\( \Leftrightarrow {x^2} + 4x - 5 = 2(\sqrt {1 + 3x} - 2) + (\sqrt {2x - 1} - 1)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow (x - 1)(x + 5) = \dfrac{{2(1 + 3x - 4)}}{{\sqrt {1 + 3x} + 2}} + \dfrac{{2x - 1 - 1}}{{\sqrt {2x - 1} + 1}}\\ \Leftrightarrow (x - 1)(x + 5) = \dfrac{{6(x - 1)}}{{\sqrt {1 + 3x} + 2}} + \dfrac{{2(x - 1)}}{{\sqrt {2x - 1} + 1}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow (x - 1)\left( {x + 5 - \dfrac{6}{{\sqrt {1 + 3x} + 2}} - \dfrac{2}{{\sqrt {2x - 1} + 1}}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1({\rm{ tm }})}\\{x + 5 = \dfrac{6}{{\sqrt {1 + 3x} + 2}} + \dfrac{2}{{\sqrt {2x - 1} + 1}}}\end{array}} \right.\end{array}\)

Xét phương trình \(x + 5 = \dfrac{6}{{\sqrt {1 + 3x} + 2}} + \dfrac{2}{{\sqrt {2x - 1} + 1}}\quad (*)\)

Do \(x \ge \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{6}{{\sqrt {1 + 3x} + 2}} + \dfrac{2}{{\sqrt {2x - 1} + 1}} < \dfrac{6}{2} + \dfrac{2}{1} = 5\) và \(x + 5 \ge \dfrac{{11}}{2} > 5\)

nên phương trình \((*)\) vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x = 1\).

b) Từ giả thiết \(x + y + z = 1\)

\( \Rightarrow x + yz = x\left( {x + y + z} \right) + yz = \left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)\)

Tương tự \(y + zx = \left( {y + z} \right)\left( {y + x} \right);z + xy = \left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)\)

Do đó \(P = \dfrac{{\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}}{{y + z}} + \dfrac{{\left( {y + z} \right)\left( {y + x} \right)}}{{z + x}} + \dfrac{{\left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)}}{{x + y}}\)

Đặt \(x + y = a,y + z = b,z + x = c \Rightarrow a,b,c > 0\) và \(a + b + c = 2\).

\(P = \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {\dfrac{{ab}}{c} + \dfrac{{ac}}{b}} \right) + \left( {\dfrac{{bc}}{a} + \dfrac{{ba}}{c}} \right) + \left( {\dfrac{{ca}}{b} + \dfrac{{cb}}{a}} \right)} \right]\)

\( \ge \dfrac{1}{2}\left( {2\sqrt {\dfrac{{ab}}{c} \cdot \dfrac{{ac}}{b}} + 2\sqrt {\dfrac{{bc}}{a} \cdot \dfrac{{ba}}{c}} + 2\sqrt {\dfrac{{ca}}{b} \cdot \dfrac{{cb}}{a}} } \right) = a + b + c = 2\)

Dấu " =" xảy ra khi \(a = b = c = \dfrac{2}{3}\).

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(P\) bằng 2 khi \(x = y = z = \dfrac{1}{3}\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link