a) Giải phương trình \({x^2} + 4x = 2\sqrt {1 + 3x} + \sqrt {2x - 1} \).b) Cho \(x,y,z\) là các số

Câu hỏi số 669181:

Vận dụng cao

a) Giải phương trình \({x^2} + 4x = 2\sqrt {1 + 3x} + \sqrt {2x - 1} \).

b) Cho \(x,y,z\) là các số thực dương thỏa mãn \(x + y + z = 1\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{x + yz}}{{y + z}} + \dfrac{{y + zx}}{{z + x}} + \dfrac{{z + xy}}{{x + y}}.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:669181

Phương pháp giải

a) Phương pháp nhẩm nghiệm, thêm bớt.

Sử dụng phương pháp liên hợp: \(A - B = \dfrac{{{A^2} - {B^2}}}{{A + B}};A + B = \dfrac{{{A^2} - {B^2}}}{{A - B}}\)

Đưa về dạng tích A.B = 0

b) Từ giả thiết \(x + y + z = 1\), chứng minh \(\left\{ \begin{array}{l}x + yz = \left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)\\y + zx = \left( {y + z} \right)\left( {y + x} \right)\\z + xy = \left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)\end{array} \right.\)

Thay vảo biểu thức P.

Đặt \(x + y = a,y + z = b,z + x = c \Rightarrow a,b,c > 0\)

Áp dụng BĐT Cosi cho 2 số âm.

Giải chi tiết

a) ĐКХĐ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 + 3x \ge 0}\\{2x - 1 \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge - \dfrac{1}{3}}\\{x \ge \dfrac{1}{2}}\end{array} \Leftrightarrow x \ge \dfrac{1}{2}} \right.} \right.\)

Ta có: \({x^2} + 4x = 2\sqrt {1 + 3x} + \sqrt {2x - 1} \)

\( \Leftrightarrow {x^2} + 4x - 5 = 2(\sqrt {1 + 3x} - 2) + (\sqrt {2x - 1} - 1)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow (x - 1)(x + 5) = \dfrac{{2(1 + 3x - 4)}}{{\sqrt {1 + 3x} + 2}} + \dfrac{{2x - 1 - 1}}{{\sqrt {2x - 1} + 1}}\\ \Leftrightarrow (x - 1)(x + 5) = \dfrac{{6(x - 1)}}{{\sqrt {1 + 3x} + 2}} + \dfrac{{2(x - 1)}}{{\sqrt {2x - 1} + 1}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow (x - 1)\left( {x + 5 - \dfrac{6}{{\sqrt {1 + 3x} + 2}} - \dfrac{2}{{\sqrt {2x - 1} + 1}}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1({\rm{ tm }})}\\{x + 5 = \dfrac{6}{{\sqrt {1 + 3x} + 2}} + \dfrac{2}{{\sqrt {2x - 1} + 1}}}\end{array}} \right.\end{array}\)

Xét phương trình \(x + 5 = \dfrac{6}{{\sqrt {1 + 3x} + 2}} + \dfrac{2}{{\sqrt {2x - 1} + 1}}\quad (*)\)

Do \(x \ge \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{6}{{\sqrt {1 + 3x} + 2}} + \dfrac{2}{{\sqrt {2x - 1} + 1}} < \dfrac{6}{2} + \dfrac{2}{1} = 5\) và \(x + 5 \ge \dfrac{{11}}{2} > 5\)

nên phương trình \((*)\) vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x = 1\).

b) Từ giả thiết \(x + y + z = 1\)

\( \Rightarrow x + yz = x\left( {x + y + z} \right) + yz = \left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)\)

Tương tự \(y + zx = \left( {y + z} \right)\left( {y + x} \right);z + xy = \left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)\)

Do đó \(P = \dfrac{{\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}}{{y + z}} + \dfrac{{\left( {y + z} \right)\left( {y + x} \right)}}{{z + x}} + \dfrac{{\left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)}}{{x + y}}\)

Đặt \(x + y = a,y + z = b,z + x = c \Rightarrow a,b,c > 0\) và \(a + b + c = 2\).

\(P = \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {\dfrac{{ab}}{c} + \dfrac{{ac}}{b}} \right) + \left( {\dfrac{{bc}}{a} + \dfrac{{ba}}{c}} \right) + \left( {\dfrac{{ca}}{b} + \dfrac{{cb}}{a}} \right)} \right]\)

\( \ge \dfrac{1}{2}\left( {2\sqrt {\dfrac{{ab}}{c} \cdot \dfrac{{ac}}{b}} + 2\sqrt {\dfrac{{bc}}{a} \cdot \dfrac{{ba}}{c}} + 2\sqrt {\dfrac{{ca}}{b} \cdot \dfrac{{cb}}{a}} } \right) = a + b + c = 2\)

Dấu " =" xảy ra khi \(a = b = c = \dfrac{2}{3}\).

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(P\) bằng 2 khi \(x = y = z = \dfrac{1}{3}\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link