a) Giải phương trình \({x^2} + 4x = 2\sqrt {1 + 3x} + \sqrt {2x - 1} \).b) Cho \(x,y,z\) là các số

Câu hỏi số 669181:

Vận dụng cao

a) Giải phương trình \({x^2} + 4x = 2\sqrt {1 + 3x} + \sqrt {2x - 1} \).

b) Cho \(x,y,z\) là các số thực dương thỏa mãn \(x + y + z = 1\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{x + yz}}{{y + z}} + \dfrac{{y + zx}}{{z + x}} + \dfrac{{z + xy}}{{x + y}}.\)

Phương pháp giải

a) Phương pháp nhẩm nghiệm, thêm bớt.

Sử dụng phương pháp liên hợp: \(A - B = \dfrac{{{A^2} - {B^2}}}{{A + B}};A + B = \dfrac{{{A^2} - {B^2}}}{{A - B}}\)

Đưa về dạng tích A.B = 0

b) Từ giả thiết \(x + y + z = 1\), chứng minh \(\left\{ \begin{array}{l}x + yz = \left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)\\y + zx = \left( {y + z} \right)\left( {y + x} \right)\\z + xy = \left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)\end{array} \right.\)

Thay vảo biểu thức P.

Đặt \(x + y = a,y + z = b,z + x = c \Rightarrow a,b,c > 0\)

Áp dụng BĐT Cosi cho 2 số âm.

Giải chi tiết

a) ĐКХĐ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 + 3x \ge 0}\\{2x - 1 \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge - \dfrac{1}{3}}\\{x \ge \dfrac{1}{2}}\end{array} \Leftrightarrow x \ge \dfrac{1}{2}} \right.} \right.\)

Ta có: \({x^2} + 4x = 2\sqrt {1 + 3x} + \sqrt {2x - 1} \)

\( \Leftrightarrow {x^2} + 4x - 5 = 2(\sqrt {1 + 3x} - 2) + (\sqrt {2x - 1} - 1)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow (x - 1)(x + 5) = \dfrac{{2(1 + 3x - 4)}}{{\sqrt {1 + 3x} + 2}} + \dfrac{{2x - 1 - 1}}{{\sqrt {2x - 1} + 1}}\\ \Leftrightarrow (x - 1)(x + 5) = \dfrac{{6(x - 1)}}{{\sqrt {1 + 3x} + 2}} + \dfrac{{2(x - 1)}}{{\sqrt {2x - 1} + 1}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow (x - 1)\left( {x + 5 - \dfrac{6}{{\sqrt {1 + 3x} + 2}} - \dfrac{2}{{\sqrt {2x - 1} + 1}}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1({\rm{ tm }})}\\{x + 5 = \dfrac{6}{{\sqrt {1 + 3x} + 2}} + \dfrac{2}{{\sqrt {2x - 1} + 1}}}\end{array}} \right.\end{array}\)

Xét phương trình \(x + 5 = \dfrac{6}{{\sqrt {1 + 3x} + 2}} + \dfrac{2}{{\sqrt {2x - 1} + 1}}\quad (*)\)

Do \(x \ge \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{6}{{\sqrt {1 + 3x} + 2}} + \dfrac{2}{{\sqrt {2x - 1} + 1}} < \dfrac{6}{2} + \dfrac{2}{1} = 5\) và \(x + 5 \ge \dfrac{{11}}{2} > 5\)

nên phương trình \((*)\) vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x = 1\).

b) Từ giả thiết \(x + y + z = 1\)

\( \Rightarrow x + yz = x\left( {x + y + z} \right) + yz = \left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)\)

Tương tự \(y + zx = \left( {y + z} \right)\left( {y + x} \right);z + xy = \left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)\)

Do đó \(P = \dfrac{{\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}}{{y + z}} + \dfrac{{\left( {y + z} \right)\left( {y + x} \right)}}{{z + x}} + \dfrac{{\left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)}}{{x + y}}\)

Đặt \(x + y = a,y + z = b,z + x = c \Rightarrow a,b,c > 0\) và \(a + b + c = 2\).

\(P = \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {\dfrac{{ab}}{c} + \dfrac{{ac}}{b}} \right) + \left( {\dfrac{{bc}}{a} + \dfrac{{ba}}{c}} \right) + \left( {\dfrac{{ca}}{b} + \dfrac{{cb}}{a}} \right)} \right]\)

\( \ge \dfrac{1}{2}\left( {2\sqrt {\dfrac{{ab}}{c} \cdot \dfrac{{ac}}{b}} + 2\sqrt {\dfrac{{bc}}{a} \cdot \dfrac{{ba}}{c}} + 2\sqrt {\dfrac{{ca}}{b} \cdot \dfrac{{cb}}{a}} } \right) = a + b + c = 2\)

Dấu " =" xảy ra khi \(a = b = c = \dfrac{2}{3}\).

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(P\) bằng 2 khi \(x = y = z = \dfrac{1}{3}\).

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:669181

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.