Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 2023;2023} \right]\) để bất phương trình
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 2023;2023} \right]\) để bất phương trình \({(5 + \sqrt {21} )^x} + \left( {6 - m} \right){(5 - \sqrt {21} )^x} - \left( {m + 2} \right){2^x} \ge 0\) nghiệm đúng với \(\forall x \in \mathbb{R}\) ?
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Hàm đặc trưng.
\(\begin{array}{*{20}{r}}{}&{\;{{(5 + \sqrt {21} )}^x} + \left( {6 - m} \right){{(5 - \sqrt {21} )}^x} - \left( {m + 2} \right){2^x} \ge 0}\\{}&{{{\left( {\dfrac{{5 + \sqrt {21} }}{2}} \right)}^x} + \left( {6 - m} \right){{\left( {\dfrac{{5 - \sqrt {21} }}{2}} \right)}^x} \ge \left( {m + 2} \right)}\end{array}\)
Đặt \(t = {\left( {\dfrac{{5 + \sqrt {21} }}{2}} \right)^x} > 0,{\left( {\dfrac{{5 - \sqrt {21} }}{2}} \right)^x} = \dfrac{1}{t}\). Bất phương trình đã cho trở thành: \(t + \left( {6 - m} \right) \cdot \dfrac{1}{t} \ge m + 2 \Leftrightarrow \dfrac{{{t^2} - 2t + 6}}{{t + 1}} \ge m\).
Xét hàm số \(f\left( t \right) = \dfrac{{{t^2} - 2t + 6}}{{t + 1}}\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\), ta có \(f'\left( t \right) = \dfrac{{{t^2} + 2t - 8}}{{{{(t + 1)}^2}}}\)
\(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = - 4}\\{t = 2}\end{array}} \right.\). Khi đó, ta có bảng biến thiên sau:
Từ bảng biến thiên trên ta suy ra để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với \(\forall x \in \mathbb{R}\) thì \(m \le 2\). Suy ra trong đoạn [-2023;2023] có tất cả 2026 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
