Có tất cả bao nhiêu số nguyên dương \(a\) để tồn tại các số thực \(x\) và \(y\) thỏa mãn
Có tất cả bao nhiêu số nguyên dương \(a\) để tồn tại các số thực \(x\) và \(y\) thỏa mãn \({a^x} + x = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}y + y = \dfrac{{5\left( {y - x} \right)}}{4}\) ?
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Từ điều kiện bài toán lập phương trình của a và x, từ đó xét điều kiện của a để có nghiệm x với \(a \ge 2\)
\({a^x} + x = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}y + y = \dfrac{{5\left( {y - x} \right)}}{4}\)
ĐKXĐ: \(y > 0;a > 0;a \ne 1 \Rightarrow a \ge 2\) (d0 a nguyên)
\(\begin{array}{l}{a^x} + x = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}y + y\\{a^x} + x = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}y + {a^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}y}}\\f\left( t \right) = {a^t} + t \Rightarrow f'\left( t \right) = {a^t}\ln a + 1 > 0\,\,\forall a \ge 2\\ \Rightarrow f\left( x \right) = f\left( {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}y} \right) \Leftrightarrow x = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}y \Leftrightarrow y = {x^a}\end{array}\)
Thay \(y = {a^x}\) vào \({a^x} + x = \dfrac{{5\left( {y - x} \right)}}{4}\) ta được
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {a^x} + x = \dfrac{{5\left( {{a^x} - x} \right)}}{4}\\ \Leftrightarrow 4.{a^x} + 4x = 5\left( {{a^x} - x} \right)\\ \Leftrightarrow {a^x} - 9x = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{a^x}}}{x} = 9\end{array}\)
Xét \(f\left( x \right) = \dfrac{{{a^x}}}{x} \Rightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{{{a^x}\ln a.x - {a^x}}}{{{x^2}}} = \dfrac{{{a^x}\left( {x\ln a - 1} \right)}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{{\ln a}}\)
\( \Rightarrow f\left( x \right) \le f\left( {\dfrac{1}{{\ln a}}} \right) = \dfrac{{{a^{\dfrac{1}{{\ln a}}}}}}{{\dfrac{1}{{\ln a}}}} = {a^{\dfrac{1}{{\ln a}}}}.\ln a\)
Để pt có nghiệm thì \({a^{\dfrac{1}{{\ln a}}}}.\ln a \le 9\)
Xét \(g\left( a \right) = {a^{\dfrac{1}{{\ln a}}}}.\ln a - 9 \Rightarrow g'\left( a \right) = {a^{\dfrac{1}{{\ln a}}}}.\ln a.\dfrac{{ - 1}}{{a{{\ln }^2}a}}.\ln a + {a^{\dfrac{1}{{\ln a}}}}.\dfrac{1}{a}\)
\( \Rightarrow g'\left( a \right) = \dfrac{{{a^{\dfrac{1}{{\ln a}}}}}}{a}\left( {\dfrac{{ - 1}}{{\ln a}} + 1} \right) > 0\,\,\forall a \ge 2\)
\( \Rightarrow g\left( a \right) \le 0 \Leftrightarrow a < 28\)
Mà a nguyên, \(a \ge 2 \Rightarrow a \in \left\{ {2,3,...,27} \right\}\)
Vậy có tất cả 26 giá trị a nguyên thỏa mãn.
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
