Có tất cả bao nhiêu số nguyên dương \(a\) để tồn tại các số thực \(x\) và \(y\) thỏa mãn
Có tất cả bao nhiêu số nguyên dương \(a\) để tồn tại các số thực \(x\) và \(y\) thỏa mãn \({a^x} + x = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}y + y = \dfrac{{5\left( {y - x} \right)}}{4}\) ?
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Từ điều kiện bài toán lập phương trình của a và x, từ đó xét điều kiện của a để có nghiệm x với \(a \ge 2\)
\({a^x} + x = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}y + y = \dfrac{{5\left( {y - x} \right)}}{4}\)
ĐKXĐ: \(y > 0;a > 0;a \ne 1 \Rightarrow a \ge 2\) (d0 a nguyên)
\(\begin{array}{l}{a^x} + x = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}y + y\\{a^x} + x = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}y + {a^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}y}}\\f\left( t \right) = {a^t} + t \Rightarrow f'\left( t \right) = {a^t}\ln a + 1 > 0\,\,\forall a \ge 2\\ \Rightarrow f\left( x \right) = f\left( {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}y} \right) \Leftrightarrow x = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}y \Leftrightarrow y = {x^a}\end{array}\)
Thay \(y = {a^x}\) vào \({a^x} + x = \dfrac{{5\left( {y - x} \right)}}{4}\) ta được
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {a^x} + x = \dfrac{{5\left( {{a^x} - x} \right)}}{4}\\ \Leftrightarrow 4.{a^x} + 4x = 5\left( {{a^x} - x} \right)\\ \Leftrightarrow {a^x} - 9x = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{a^x}}}{x} = 9\end{array}\)
Xét \(f\left( x \right) = \dfrac{{{a^x}}}{x} \Rightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{{{a^x}\ln a.x - {a^x}}}{{{x^2}}} = \dfrac{{{a^x}\left( {x\ln a - 1} \right)}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{{\ln a}}\)
\( \Rightarrow f\left( x \right) \le f\left( {\dfrac{1}{{\ln a}}} \right) = \dfrac{{{a^{\dfrac{1}{{\ln a}}}}}}{{\dfrac{1}{{\ln a}}}} = {a^{\dfrac{1}{{\ln a}}}}.\ln a\)
Để pt có nghiệm thì \({a^{\dfrac{1}{{\ln a}}}}.\ln a \le 9\)
Xét \(g\left( a \right) = {a^{\dfrac{1}{{\ln a}}}}.\ln a - 9 \Rightarrow g'\left( a \right) = {a^{\dfrac{1}{{\ln a}}}}.\ln a.\dfrac{{ - 1}}{{a{{\ln }^2}a}}.\ln a + {a^{\dfrac{1}{{\ln a}}}}.\dfrac{1}{a}\)
\( \Rightarrow g'\left( a \right) = \dfrac{{{a^{\dfrac{1}{{\ln a}}}}}}{a}\left( {\dfrac{{ - 1}}{{\ln a}} + 1} \right) > 0\,\,\forall a \ge 2\)
\( \Rightarrow g\left( a \right) \le 0 \Leftrightarrow a < 28\)
Mà a nguyên, \(a \ge 2 \Rightarrow a \in \left\{ {2,3,...,27} \right\}\)
Vậy có tất cả 26 giá trị a nguyên thỏa mãn.
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
