Cho hình chóp \(S \cdot ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(2,SA = 2\) và \(SA\) vuông góc
Cho hình chóp \(S \cdot ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(2,SA = 2\) và \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy \(\left( {ABCD} \right)\). Gọi \(M,N\) là hai điểm thay đổi trên hai cạnh \(AB,AD\) sao cho mặt phẳng ( \(SMC)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {SNC} \right)\). Tính tổng \(T = \dfrac{1}{{A{N^2}}} + \dfrac{1}{{A{M^2}}}\) khi thể tích khối chóp S.AMCN đạt giá trị lớn nhất.
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Cách 1: Đặt \(AM = x,AN = y\). Tính thể tích theo x, y và khảo sát tìm min
Cách 2: Phương pháp tọa độ hóa Oxyz
Cách 1:
Đặt \(AM = x,AN = y\).
Gọi \(\{ O\} = AC \cap DB;\{ E\} = BD \cap CM\);\(\{ F\} = BD \cap CN{\rm{. }}\)
\(H\) là hình chiếu vuông góc của O trên \(S\), khi đó \(HO = \sqrt {\dfrac{2}{3}} \).
Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{SC \bot OH}\\{SC \bot BD}\end{array} \Rightarrow SC \bot (HBD) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{SC \bot HE}\\{SC \bot HF}\end{array}} \right.} \right.\).
Do đó góc giữa \((SCM)\) và \((SCN)\) bằng góc giữa HE và HF. Suy ra \(HE \bot HF\).
Mặt khác \({V_{S.AMCN}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{AMCN}} = \dfrac{2}{3}(x + y)\).
Ta có \(x > 0,y > 0\) và nếu \(x \ne 2,y \ne 2\) thì gọi \(K\) là trung điểm của AM, khi đó
\(\dfrac{{OE}}{{EB}} = \dfrac{{KM}}{{MB}} = \dfrac{x}{{4 - 2x}} \Rightarrow \dfrac{{OE}}{x} = \dfrac{{EB}}{{4 - 2x}} = \dfrac{{OB}}{{4 - x}} \Rightarrow OE = \dfrac{{x\sqrt 2 }}{{4 - x}}\)
Tương tự \(OF = \dfrac{{y\sqrt 2 }}{{4 - y}}\) mà \(OE.OF = O{H^2} \Leftrightarrow (x + 2)(y + 2) = 12\).
Nếu \(x = 2\) hoặc \(y = 2\) thì ta có \(OE.OF = O{H^2} \Leftrightarrow (x + 2)(y + 2) = 12\).
Suy ra \({V_{S.AMCN}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{AMCN}} = \dfrac{2}{3}(x + y) = \dfrac{2}{3}[(x + 2) + (y + 2) - 4]\)
\( = \dfrac{2}{3}\left[ {(x + 2) + \dfrac{{12}}{{x + 2}} - 4} \right]{\rm{. }}\)
Do đó \(\max {V_{SAMCN}} = 2 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = 2}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 1}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\).
\( \Rightarrow T = \dfrac{1}{{A{M^2}}} + \dfrac{1}{{A{N^2}}} = \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}} = \dfrac{5}{4}\)
Cách 2:
Gắn hệ trục tọa độ Oxyz, với \(A(0;0;0),B(2;0;0),C(2;2;0),D(0;2;0)\) và \(S(0;0;2)\).
Vì \(M \in AB \Rightarrow M(m;0;0)\) và \(N \in AD \Rightarrow N(0;n;0) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {SM} = (m;0; - 2)}\\{\overline {SN} = (0;n; - 2)}\end{array}} \right.\).
Khi đó \({\vec n_{(SMC)}} = [\overrightarrow {SM} ;\overrightarrow {SC} ] = (4;2m - 4;2m)\) và \({\vec n_{(SNC)}} = [\overrightarrow {SN} ;\overrightarrow {SC} ] = \left( {4 - 2n; - 4; - 2n} \right)\)
Theo bài ra, ta có:
\({\vec n_{(SMC)}}{\vec n_{{\rm{(SNC) }}}} = 0 \Leftrightarrow 4(4 - 2n) - 4(2m - 4) - 4mn = 0 \Leftrightarrow mn + 2m + 2n = 8\) (*)
Thể tích khối chóp \(S.AMCN\) là \(V = \dfrac{1}{3} \cdot SA.{S_{ACCN}} = \frac{2}{3}\left( {{S_{ABCD}} - {S_{\Delta BMC}} - {S_{\Delta DNC}}} \right) = \frac{2}{3}(m + n)\)
Mà \((*) \Leftrightarrow n = \dfrac{{8 - 2m}}{{m + 2}}\) suy ra \(m + n = m + \dfrac{{8 - 2m}}{{m + 2}} = \dfrac{{{m^2} + 8}}{{m + 2}} = f(m)\).
Khảo sát hàm số \(f(m) = \dfrac{{{m^2} + 8}}{{m + 2}}\) trên [0 ; 2], ta được \({\max _{[0;2]}}f(m) = f(2) = 3\).
Dấu bằng xảy ra khi \(m = 2 \Rightarrow n = 1\). Vậy \(T = \dfrac{1}{{A{M^2}}} + \dfrac{1}{{A{N^2}}} = \dfrac{1}{{{m^2}}} + \dfrac{1}{{{n^2}}} = \dfrac{5}{4}\).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
