Cho các số thực \(x,y\) thỏa mãn \(x + y + 1 = 2\left( {\sqrt {x - 2} + \sqrt {y + 3} } \right)\). Giá
Cho các số thực \(x,y\) thỏa mãn \(x + y + 1 = 2\left( {\sqrt {x - 2} + \sqrt {y + 3} } \right)\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(M = {3^{x + y - 4}} + \left( {x + y + 1} \right) \cdot {2^{7 - x - y}} - 3\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\) bằng
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Đánh giá bằng các bất đẳng thức và khảo sát hàm số
Điều kiện \(x \ge 2;y \ge - 3\).
\( \Leftrightarrow {(x + y + 1)^2} = 4(x + y + 1 + 2\sqrt {x - 2} \sqrt {y + 3} ).\left( * \right)\)
Vì \(2\sqrt {x - 2} \sqrt {y + 3} \le x + y + 1\) nên từ \((*)\)
\( \Rightarrow {(x + y + 1)^2} \le 8(x + y + 1) \Leftrightarrow x + y \le 7.{\rm{ }}\)
Vì \(2\sqrt {x - 2} \sqrt {y + 3} \ge 0\) nên từ (*) suy ra
\({(x + y + 1)^2} \ge 4(x + y + 1) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y + 1 \le 0}\\{x + y + 1 \ge 4}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y + 1 = 0}\\{x + y + 1 \ge 4}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = - 1}\\{x + y \ge 3}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)
Do \(x \ge 2\) nên \({x^2} \ge 2x,{y^2} + 1 \ge 2y\), suy ra \({x^2} + {y^2} + 1 \ge 2(x + y)\).
Từ đó ta có
\(M = {3^{x + y - 4}} + (x + y + 1){.2^{7 - x - y}} - 3\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \le {3^{x + y - 4}} + (x + y + 1){.2^{7 - x - y}} - 6(x + y) + 3\)
Đặt \(t = x + y\) với \(t = - 1\) hoặc \(3 \le t \le 7\).
Xét hàm số \(f(t) = {3^{t - 4}} + (t + 1){2^{7 - t}} - 6t + 3\)
Ta có \(f( - 1) = \dfrac{{2188}}{{243}}\).
\({f^\prime }(t) = {3^{t - 4}}\ln 3 + {2^{7 - t}} - (t + 1){.2^{7 - t}}\ln 2 - 6\)
\({f^{\prime \prime }}(t) = {3^{t - 4}}{\ln ^2}3 + \left[ {(t + 1)\ln 2 - 2} \right]{2^{7 - t}}.\ln 2 > 0\) với mọi \(3 \le t \le 7\)
Suy ra \({f^\prime }(t)\) đồng biến trên \((3;7)\), mà \({f^\prime }(t)\) liên tục trên [3 ; 7] và \({f^\prime }(3).{f^\prime }(7) < 0\) nên phương trình \({f^\prime }(t) = 0\) có nghiệm duy nhất \({t_0} \in (3;7)\).
Suy ra
\(M = {3^{x + y - 4}} + (x + y + 1){.2^{7 - x - y}} - 3\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \le \dfrac{{148}}{3}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x = 2,y = 1\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
