Cho hai hàm số \(y = f(x) = {x^2}\) và \(y = g(x) = 3ax - {a^2}\) với \(a \ne 0\) là tham số. a) Vẽ đồ

Câu hỏi số 669816:

Vận dụng

Cho hai hàm số \(y = f(x) = {x^2}\) và \(y = g(x) = 3ax - {a^2}\) với \(a \ne 0\) là tham số.

a) Vẽ đồ thị hàm số \(y = f(x)\) trên hệ trục tọa độ Oxy)

b) Chứng minh rằng đồ thị hai hàm số đã cho luôn có hai giao điểm.

c) Gọi \({y_1};{y_2}\) là tung độ giao điểm của hai đồ thị. Tìm \(a\) để \({y_1} + {y_2} = 28\).

Phương pháp giải

a) Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Lập bảng giá trị tương ứng giữa \(x\) và \(y\).

Bước 3: Vẽ đồ thị và kết luận.

* Chú ý: vì đồ thị hàm số y \( = a{x^2}(a \ne 0)\) luôn đi qua gốc tọa độ \(O\) và nhận trục Oy làm trục đối xứng nên khi vẽ đồ thị của hàm số này, ta chỉ cần tìm một số điểm bên phải trục Oy rồi lấy các điểm đối xứng với chúng qua Oy.

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm, đưa về dạng phương trình bậc hai một ẩn.

Tính \(\Delta = {b^2} - 4ac\), chứng minh \(\Delta \ge 0\)

c) Sử dụng hệ thức Vi-ét \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\).

Biến đổi yêu cầu đề bài cho.

Giải chi tiết

a) Ta có bảng giá trị giá trị sau:

=> Đồ thị là Parabol đi qua 5 điểm có tọa độ \(\left( { - 2;4} \right);\,\,\left( { - 1;1} \right);\,\,\left( {0;0} \right);\,\,\left( {1;1} \right);\,\left( {2;4} \right).\)

Đồ thị hàm số \(y = {x^2}\) có \(a = 1 > 0\) nên đồ thị là đường cong parabol có bề lõm hướng lên trên, nhận Oy làm trục đối xứng.

Ta vẽ được đồ thị hàm số như sau:

b) Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là nghiệm của phương trình

\({x^2} = 3ax - {a^2} \Leftrightarrow {x^2} - 3ax + {a^2} = 0\,\,\,\,(1)\)

Phương trình (1) có \(\Delta = {\left( { - 3a} \right)^2} - 4.1.{a^2} = 9{a^2} - 4{a^2} = 5{a^2} > 0,\forall a \ne 0\).

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Hay đồ thị hai hàm số đã cho luôn có hai giao điểm.

c) Gọi \({x_1};{x_2}\) là hoành độ giao điểm của hai đồ thị khi đó

\({y_1} + {y_2} = 28\) \( \Leftrightarrow 3a{x_1} - {a^2} + 3a{x_2} - {a^2} = 28\)

\( \Leftrightarrow 3a\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2{a^2} = 28\) (2)

Áp dụng định lí Vi-ét ta có \({x_1} + {x_2} = 3a\) thay vào (2) ta được:

\(\begin{array}{l}\left( 2 \right) \Leftrightarrow 3a.3a - 2{a^2} = 28\\\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 9{a^2} - 2{a^2} = 28\\\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,7{a^2} = 28\\\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{a^2} = 4\\\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a = \pm 2\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy với \(a = \pm 2\) thì giao điểm của hai đồ thị hàm số có \({y_1} + {y_2} = 28\).

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:669816

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.