Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn (O) tâm O đường kính BC, đường thẳng qua

Câu hỏi số 669818:

Vận dụng

Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn (O) tâm O đường kính BC, đường thẳng qua O vuông góc với BC cắt AC tại D.

a) Chứng minh rằng tứ giác ABOD nội tiếp.

b) Tiếp tuyến tại điểm A của đường tròn (O) cắt đường thẳng BC tại điểm P, cho PB = BO = 2cm. Tính độ dài đoạn thẳng PA và số đo góc \(\angle APC\).

c) Chứng minh rằng \(\dfrac{{PB}}{{PC}} = \dfrac{{B{A^2}}}{{A{C^2}}}\).

Phương pháp giải

a) Chứng minh tứ giác ABOD có tổng hai góc đối bằng \(180^\circ \)

b) Tính chất tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác OAP vuông tại A, tính cạnh PA.

Áp dụng công thức \(\sin P = \dfrac{{OA}}{{OP}}\)

c) Tính chất: góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AB.

Khi đó chứng minh \(\Delta PAB \sim \Delta PCA\,\,\left( {g.g} \right)\), suy ra các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ.

Giải chi tiết

a) Ta có \(\angle BAC = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow \angle BAD = {90^0}\).

Mà \(OD \bot BC\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle BOD = {90^0}\).

Xét tứ giác ABOD có: \(\angle BAD + \angle BOD = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

Suy ra ABOD là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)).

b) Vì AP là tiếp tuyến của (O) tại A nên \(OA \bot AP \Rightarrow \Delta OAP\) vuông tại A.

Lại có PB = BO = 2cm (gt) => B là trung điểm của OP

=> AB là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông OAP

\( \Rightarrow AB = \dfrac{1}{2}OP = OB = 2\,\,\left( {cm} \right)\).

Ta có: OA = OB = 2 (cm) (=R), OP = OB + PB = 4 (cm).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông OAP ta có:

\(\begin{array}{l}O{A^2} + A{P^2} = O{P^2}\\ \Rightarrow {2^2} + A{P^2} = {4^2}\\ \Leftrightarrow 4 + A{P^2} = 16\\ \Leftrightarrow A{P^2} = 12\\ \Leftrightarrow AP = 2\sqrt 3 \,\,\left( {cm} \right)\end{array}\)

Vậy \(AP = 2\sqrt 3 \,\,\left( {cm} \right)\).

Xét tam giác vuông OAP ta có: \(\sin \angle APO = \dfrac{{OA}}{{OP}} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \angle APO = {30^0}\).

Vậy \(\angle APC = \angle APO = {30^0}\).

c) Xét \(\Delta PAB\) và \(\Delta PCA\) có:

\(\angle APC\,\,chung\)

\(\angle BAP = \angle APC\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AB)

\( \Rightarrow \Delta PAB \sim \Delta PCA\,\,\left( {g.g} \right)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{PA}}{{PB}} = \dfrac{{PC}}{{PA}} = \dfrac{{AB}}{{AC}}\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{B{A^2}}}{{A{C^2}}} = \dfrac{{P{A^2}}}{{P{B^2}}}\\P{A^2} = PB.PC\end{array} \right.\\ \Rightarrow \dfrac{{B{A^2}}}{{A{C^2}}} = \dfrac{{P{A^2}}}{{P{B^2}}} = \dfrac{{PB.PC}}{{P{B^2}}} = \dfrac{{PC}}{{PB}}\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:669818

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.