Chuyên thái nguyên (2012 - 2013) Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông cạnh a, gọi H là trung điểm của cạnh AD, biết SH vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa SB và mặt phẳng đáy bằng . 1)Tính thể tích khối chóp S.ABCD. 2) Tính bán kính hình cầu ngoại tiếp hình chóp S.HDC

Câu hỏi số 67026:

Chuyên thái nguyên (2012 - 2013)

Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông cạnh a, gọi H là trung điểm của cạnh AD, biết SH vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa SB và mặt phẳng đáy bằng $60^{\circ}$ .

1)Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

2) Tính bán kính hình cầu ngoại tiếp hình chóp S.HDC

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:67026

Giải chi tiết

1) Do SH vuông (ABCD) nên SH là đường cao của hình chóp

Góc giữa SB và (ABCD) là góc SBH, từ giả thiết ta có $\widehat{SBH}=60^{\circ}$

Diện tích hình vuông ABCD cạnh a là $S_{ABCD}=a^{2}$

Xét tam giác AHB vuông tại A, theo định lí Pitago ta có

$HB=\sqrt{AB^{2}+AH^{2}}=\sqrt{a^{2}+(\frac{a}{2})^{2}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$

Xét $\Delta SHB$ vuông tại H có $SH=HB.tan\widehat{SBH}=\frac{a\sqrt{5}}{2}.tan60^{\circ}=\frac{a\sqrt{15}}{2}$

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là $V=\frac{1}{3}.SH.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{15}}{2}a^{2}=\frac{a^{3}\sqrt{15}}6{}$

2) Vì SH vuông (ABCD) => SH vuông HC nên tam giác SHC vuông tại H

Ta lại có HD vuông DC suy ra SD vuông DC do đó $\Delta SDC$ vuông tại D. Gọi O là trung điểm của SC thì OS=OC=OH=OD.

Suy ra O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.HDC, bán kính mặt cầu $R=\frac{SC}{2}$

Vì SH vuông (ABCD) mà HB=HC nên SB=SC

Xét $\Delta SHB$ vuông tại H có $SB=\frac{HB}{cos60^{\circ}}=2.\frac{a\sqrt{5}}{2}=a\sqrt{5}=SC$

Vậy bán kính mặt cầu cần tìm là $R=\frac{a\sqrt{5}}{2}$

$R=\frac{a\sqrt{5}}{2}$

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.