Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a.\) Biết mặt bên \(ABB'A'\)
Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a.\) Biết mặt bên \(ABB'A'\) là hình thoi có góc \(\widehat {BAA'} = {120^0}\), mặt bên \(ACC'A'\) là hình chữ nhật. Tính thể tích khối lăng trụ đó.
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Xác định đường cao B’H của lăng trụ. Đặt B’H = x
Lập phương trình theo x tìm x từ đó tính thể tích lăng trụ
Do mặt bên \(ABB'A'\) là hình thoi có góc \(\angle BAA' = {120^0}\) nên \(\Delta ABB'\) đều
Gọi M là trung điểm của AB \( \Rightarrow B'M \bot AB\)
\(\Delta ABC\) đều nên \(CM \bot AB \Rightarrow AB \bot \left( {B'MC} \right)\)
Kẻ \(B'H \bot MC \Rightarrow B'H \bot \left( {ABC} \right)\)
Kẻ \(CK \bot B'M \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}CK \bot B'M\\CK \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow CK \bot \left( {ABB'A'} \right) \Rightarrow CK \bot AK\)
Gọi \(B'H = x \Rightarrow B'H = CK = x\) (Do \(\Delta MCB'\) cân tại M)
\(\begin{array}{l}MK = \sqrt {M{C^2} - C{K^2}} = \sqrt {\dfrac{3}{4}{a^2} - {x^2}} \\ \Rightarrow B'K = B'M - MK = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}a - \sqrt {\dfrac{3}{4}{a^2} - {x^2}} \end{array}\)
Do \(\angle A'B'M = \angle AB'M + \angle A'B'A = {30^0} + {60^0} = {90^0}\)
\( \Rightarrow \Delta A'B'K\) vuông tại B’
\( \Rightarrow A'{K^2} = A'{B'^2} + B'{K^2} = {a^2} + {\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}a - \sqrt {\dfrac{3}{4}{a^2} - {x^2}} } \right)^2} = \dfrac{{5{a^2}}}{2} - \sqrt 3 a.\sqrt {\dfrac{3}{4}{a^2} - {x^2}} - {x^2}\)
Do \(A'C'CA\) là hình chữ nhật mà \(AC = AA' = a\) nên \(A'C'CA\) là hình vuông
\( \Rightarrow A'C' = a\sqrt 2 \)
Do \(\Delta A'KC\) vuông tại K nên ta có phương trình
\(\begin{array}{l}A'{K^2} + K{C^2} = A'{C^2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{5{a^2}}}{2} - \sqrt 3 a.\sqrt {\dfrac{3}{4}{a^2} - {x^2}} - {x^2} + {x^2} = {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2}}}{2} = \sqrt 3 a.\sqrt {\dfrac{3}{4}{a^2} - {x^2}} \\ \Leftrightarrow \dfrac{a}{2} = \sqrt 3 \sqrt {\dfrac{3}{4}{a^2} - {x^2}} \\ \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2}}}{4} = \dfrac{9}{4}{a^2} - 3{x^2}\\ \Leftrightarrow 3{x^2} = 2{a^2} \Leftrightarrow x = \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}a\\ \Rightarrow {V_{ABCA'B'C'}} = B'H.{S_{ABC}} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}a.\dfrac{{\sqrt 3 }}{4}{a^2} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}{a^3}\end{array}\)
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
