Cho khối chóp \(S.ABCD\) có chiều cao bằng 9 và đáy là hình bình hành có diện tích bằng 10.

Câu hỏi số 670628:

Vận dụng

Cho khối chóp \(S.ABCD\) có chiều cao bằng 9 và đáy là hình bình hành có diện tích bằng 10. Gọi\(M,{\rm{ }}N,{\rm{ }}P\) và \(Q\) lần lượt là trọng tâm của các mặt bên \(SAB,{\rm{ }}SBC,{\rm{ }}SCD\) và \(SDA\). Thể tích của khối đa diện lồi có đỉnh là các điểm \(M,{\rm{ }}N,{\rm{ }}P,{\rm{ }}Q,{\rm{ }}B\) và \(D\) là

A. \(\dfrac{{25}}{3}.\)

B. \(9.\)

C. \(30.\)

D. \(\dfrac{{50}}{9}.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:670628

Phương pháp giải

- Xác định thiết diện \({A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\) của hình chóp cắt bởi mặt phẳng \((MNPQ)\)

- Phân chia khối đa diện:

\({V_{MNQQBD}} = {V_{{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }ABCD}} - {V_{B.{B^\prime }MN}} - {V_{D{D^\prime }PQ}} - {V_{A'MQ.ABD}} - {V_{{C^\prime }NP.CBD}} = {V_{{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }ABCD}} - 2{V_{B.{B^\prime }MN}} - 2{V_{A'MQ.ABD}}\)

Giải chi tiết

Thiết diện của hìn chóp cắt bởi \((MNPQ)\) là tứ giác \({A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\) như hình vẽ

Khi đó ta có:

Ta có hình bình hành A’B’C’D’ là ABCD đồng dạng theo tỉ số \(\dfrac{2}{3}\)

nên \(\dfrac{{{S_{A'B'C'D'}}}}{{{S_{ABCD}}}} = {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^2} = \dfrac{4}{9}\) \( \Rightarrow {S_{A'B'C'D'}} = \dfrac{4}{9}{S_{ABCD}}\)

Lại có: \(d\left( {S,\left( {{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }} \right)} \right) = \dfrac{2}{3}d(S,(ABCD))\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{{V_{S.A'B'C'D'}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{3}d\left( {{S_,}\left( {{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }} \right)} \right)}}{{\dfrac{1}{3}d(S,(ABCD)) \cdot {S_{ABCD}}}} = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{4}{9} = \dfrac{8}{{27}}\\ \Rightarrow {V_{S.A'B'C'D'}} = \dfrac{8}{{27}}{V_{S.ABCD}}\\ \Rightarrow {V_{A'B'C'D'.ABCD}} = \left( {1 - \dfrac{8}{{27}}} \right){V_{S.ABCD}} = \dfrac{{19}}{{27}}{V_{S.ABCD}}\end{array}\)

Ta có \(BS \cap \left( {{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }} \right) = {B^\prime } \Rightarrow \dfrac{{d\left( {B,\left( {{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }} \right)} \right)}}{{d\left( {S,\left( {{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }} \right)} \right)}} = \dfrac{{B{B^\prime }}}{{S{B^\prime }}} = \dfrac{1}{2}\)

\( \Rightarrow d\left( {B,\left( {{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {S,\left( {{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }} \right)} \right) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3}d(S,(ABCD)) = \dfrac{1}{3}d(S,(ABCD))\)

Lại có:

\(\begin{array}{l}{S_{{B^\prime }MN}} = \dfrac{1}{4}{S_{A'B'C'}} = \dfrac{1}{8}{S_{A'B'C'D'}} = \dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{4}{9}{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{{18}}{S_{ABCD}}\\ \Rightarrow {V_{B.{B^\prime }MN}} = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{{18}} = \dfrac{1}{{54}}{V_{S.ABCD}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{\rm{ + ) }}{S_{CNP}} = {S_{{B^\prime }MN}} = \dfrac{1}{{18}}{S_{ABCD}},{S_{BCD}} = \dfrac{1}{2}{S_{ABCD}}\\d\left( {\left( {{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }} \right),(ABCD)} \right) = d\left( {B,\left( {{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }} \right)} \right) = \dfrac{1}{3}d(S,(ABCD))\\ \Rightarrow {V_{CNP.CBD}} = \left( {\dfrac{1}{{18}}{S_{ABCD}} + \dfrac{1}{2}{S_{ABCD}} + \sqrt {\dfrac{1}{{18}} \cdot \dfrac{1}{2}} {S_{ABCD}}} \right) \cdot \dfrac{1}{3}d(S,(ABCD))\\ = \dfrac{{13}}{{54}}{S_{ABCD}}d(S,(ABCD)) = \dfrac{{13}}{{54}}{V_{SABCD}}\\ \Rightarrow {V_{\Delta APQBD}} = \left( {\dfrac{{19}}{{27}} - 2.\dfrac{1}{{54}} - 2.\dfrac{{13}}{{54}}} \right){V_{S.ABCD}} = \dfrac{5}{{27}}{V_{S.ABCD}}{\rm{ }}\end{array}\)

Mà \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}.9.10 = 30\)

Vậy \({V_{\Delta APQDBD}} = \dfrac{5}{{27}}.30 = \dfrac{{50}}{9}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.