Cho hình chóp \(SABCD\)có \(ABCD\)là hình chữ nhật, \(AB = a,AD = a\sqrt 3 \), \(SA\) vuông góc với đáy

Câu hỏi số 671363:

Vận dụng

Cho hình chóp \(SABCD\)có \(ABCD\)là hình chữ nhật, \(AB = a,AD = a\sqrt 3 \), \(SA\) vuông góc với đáy và \(SA = 2a.\)

1) Chứng minh \(BC \bot SB.\)

2) Tính góc giữa \(SC\) và \(\left( {ABCD} \right)\).

3) Tính tan của góc nhị diện \(\left[ {A,BD,S} \right]\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:671363

Phương pháp giải

Góc nhị diện là góc giữa 2 mặt phẳng

Góc nhị diện đc xác định bằng cách: Gọi d là giao tuyến của 2 mặt phẳng, A là 1 điểm trên d. Từ A dựng 2 tia Ax, Ay lần lượt nằm trên 2 mặt phẳng đã cho và vuông góc với d. Góc nhị diện là xAy.

Giải chi tiết

Ta có : \(\left. \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA{\rm{ }}(do{\rm{ SA}} \bot \left( {ABC} \right))\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\)

\(\left. \begin{array}{l}BC \bot \left( {SAB} \right)\\SB \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot SB\)

2) Do \(\begin{array}{l}SC \cap \left( {ABCD} \right) = C\\SA \bot \left( {ABCD} \right)\end{array}\) nên \(AC\) là hình chiếu của \(SC\) lên mp \(\left( {ABCD} \right)\)

Suy ra góc giữa \(SC\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là \(\widehat {SCA}\)

Ta có \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = 2a\) , \(\tan \widehat {SCA} = \dfrac{{SA}}{{AC}} = 1 \Rightarrow \widehat {SCA} = {45^0}\).

3) Kẻ \(AM \bot BD(M \in BD)\)

Ta có \(BD \bot \left( {SAM} \right)\) (do \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot SA\\BD \bot AM\end{array} \right.\)). Suy ra \(BD \bot SM\). Khi đó \(\left[ {A,BD,S} \right] = \widehat {SMA}\).

Ta có \(AM = \dfrac{{AB.AD}}{{BD}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\), \(\tan \widehat {SMA} = \dfrac{{SA}}{{AM}} = \dfrac{{2a}}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{{4\sqrt 3 }}{3}\)

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.