Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Kẻ AH vuông góc với BC tại H,

Câu hỏi số 671748:

Vận dụng

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Kẻ AH vuông góc với BC tại H, kẻ HE vuông góc với AB tại E, kẻ HD vuông góc với AC tại D.

a) Chứng minh: tứ giác AEHD là tứ giác nội tiếp.

b) Dựng đường kính AK của đường tròn (O). Chứng minh: AE.AK = AH.AC.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:671748

Phương pháp giải

a) Chứng minh AEHD có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp.

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(\Delta AHC\) và \(\Delta AHB\) chứng minh được \(AE.AB = AD.AC\) suy ra \(\Delta AED \backsim \Delta ACB\left( {c.g.c} \right)\)

Áp dụng thêm tính chất góc nội tiếp cùng chắn một cung bằng nhau.

Chứng minh \(\Delta AEH \backsim \Delta ACK\left( {g.g} \right)\) suy ra cạnh tương ứng tỉ lệ.

Giải chi tiết

a) Xét tứ giác AEHD có:

\(\angle AEH = {90^0}\) (\(HE \bot AB\))

\(\angle ADH = {90^0}\) (\(HD \bot AC\))

\( \Rightarrow \)\(\angle AEH + \angle ADH = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

Suy ra tứ giác AEHD nội tiếp (tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)) (dhnb)

b) Xét \(\Delta AHB\) vuông tại H, đường cao HE có:

\(A{H^2} = AE.AB\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Xét \(\Delta AHC\) vuông tại H, đường cao HE có:

\(A{H^2} = AD.AC\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

\( \Rightarrow AE.AB = AD.AC \Leftrightarrow \dfrac{{AE}}{{AC}} = \dfrac{{AD}}{{AB}}\)

Xét \(\Delta AED\) và \(\Delta ABC\) có \(\angle BAC\) chung và \(\dfrac{{AE}}{{AC}} = \dfrac{{AD}}{{AB}}\) (cmt)

\( \Rightarrow \Delta AED \backsim \Delta ACB\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \angle ADE = \angle ABC\) (2 góc tương ứng)

Mà \(\angle ABC = \angle AKC\) (cùng chắn cung AC)

\( \Rightarrow \angle ADE = \angle AKC\left( { = \angle ABC} \right)\)

Do AEHD nội tiếp nên \(\angle AHE = \angle ADE\) (cùng chắn cung AE)

\( \Rightarrow \angle AHE = \angle AKC\)

Xét \(\Delta AEH\) và \(\Delta ACK\) có

\(\angle AHE = \angle AKC\)

\(\angle AEH = \angle ACK = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow \Delta AEH \backsim \Delta ACK\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{AC}} = \dfrac{{AH}}{{AK}} \Rightarrow AE.AK = AH.AC\) (đpcm)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link